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勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。 【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4×½ab=c²+4×½ab，整理得a²+b²=c². 【证法2】（赵爽证明）以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于½ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c². ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为（b―a）的正方形，它的面积等于(a+b)² 4×½ab+（b-a）²=c²， ∴a²+b²=c² 【证法3】（1876年美国总统Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于½ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于½c². 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 ½（a+b）²=2×½ab+½c²， ∴a²+b²=c² 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状 使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于½a²， ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =a². 同理可证，矩形MLEB的面积 =b². ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴c²=a²+b² ，即a²+b²=c². 【证法5】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ΔADC ∽ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即AC²=AD·AB. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC²=BD·AB ∴AC²+BC²=(AD+BD)·AB=AB²， 即a²+b²=c². 【证法6】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a. 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理，得 AC²=AE·AD=(AB+BE)·(AB-BD) =(c+a)·（c-a）=c²-b² ∴b²=c²-a² 即a²+b²=c² 【证法7】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. 假设a²+b²≠c²，即假设AC²+BC²≠AB²， 则由AB²=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD 可知AC²≠AB·AD，或者BC²≠AB·BD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB. 在ΔADC和ΔACB中， ∵∠A = ∠A， ∴若 AD：AC≠AC：AB， 则∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中， ∵ ∠B = ∠B， ∴若BD：BC≠BC：AB， 则∠CDB≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º， ∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º. 这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC²+BC²≠AB²的假设不能成立. ∴a²+b²=c². 当然，勾股定理的证明方法还有很多很多种，以上几种证明方法应用了很多初中数学知识点，在学习过程中还可以对一些重要知识进行复习和回顾。如果你有更好的证明方法，欢迎在评论区分享！ |
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