【原】​带电圆环的电势

利用电势叠加原理和电势的定义式两种方法计算一个带电圆环激发的电场在圆环轴线上的电势分布。

在电荷连续分布的情况下，可以将带电体分割成无数多个无穷小的元电荷，利用点电荷激发的电势的表达式，由电势叠加原理就可以求出连续带电体激发的电势：

其中积分符号下方的字母 代表对电荷分布区积分， 是每一个元电荷的带电量， 是它与场点之间的距离。在实施具体的计算时， 需要根据电荷分布的特点做进一步展开，对线状带电体，，对面状带电体，，而对一般的空间分布电荷系统，。

原则上说，利用上述公式可以求解任意分布的连续带电体在空间中激发的电势。不过，对一般的电荷系统，上述对电荷分布区的积分基本上都很难处理。由于这个原因，对于一些具有对称分布的电荷系统，我们宁愿利用对称性，通过高斯定律先求出电场强度，再利用电势的定义式求电势。

作为连续带电体的一个最简单的实例，我们用两种方法求解一个半径为 的均匀带电圆环激发的电势。

先来看电势叠加的方法。取带电圆环的中心为坐标原点，圆环的轴线为 轴，圆环所在的平面为 平面。把带电圆环分割成无数段无穷短的小段，每一小段就是一个点电荷，它的长度 ，带电量 ，所处位置的坐标为 。考虑空间中任意点 点，它的坐标为 。圆环上任意一小段电荷与场点的距离

带电圆环作为一个点电荷组在 点激发的电势

在目前的知识层面上，这并不是一个容易求出的积分。通过对被积函数做适当的变换，可以将这个积分转化成一类被称为椭圆积分的积分类型。显然，这不是一个我们当下能够解决的问题。不过，在带电圆环的轴线上，上述积分倒是不难求出。对轴线上的空间点，

代入电势的积分式中，就可以求出轴线上的电势：

其中 是圆环的总带电量。

接下来利用电势的定义式求轴线上的电势。在环形带电体一文中，我们给出了带电圆环轴线上的电场强度的表达式：

请留意上面的表达式与原文的表达式的差异，这是由坐标轴的选择方式带来的差异，本质上并没有差别。由于我们只知道轴线上的电场强度，为了求出轴线上的电势，必须设计这样一条积分路径：从无穷远处 (电势的零点) 沿带电圆环的轴线积分至所要求的场点，对于这样一条路径，。利用上述知识，由电势的定义式得到

这正是用电势叠加原理求得的结果。在上述积分式中，我们依旧采用了简便的书写方式，使用同一个字母表示积分变量和积分上限。

在远离圆环的位置，，

我们再一次得到了点电荷近似：在远离圆环的位置上看，带电圆环近似地是一个点电荷。