在上一篇文章中，我们介绍了欧拉以及简单多面体欧拉定理的内容，相关内容请戳：
简单多面体欧拉定理：对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系，在三维空间中设其顶点，边和面的数量分别为V, E, F，则欧拉定理可表示为：这个证明用到的是数学思维里最常见的思路，即先从简单问题入手，再逐步变复杂的过程中找到规律，并且应用数学归纳法来归纳之。1. 顶点最少的多面体为四面体，n = 4，验证得V - E + F = 4 - 6 + 4 = 2，命题成立。2. 假设定理对n个顶点的简单多面体成立，有V(n) - E(n) + F(n) = 2。对n + 1个顶点的多面体的情况，我们考虑其中某两个相邻顶点，观察其合并成一个顶点的过程，发现当两个相邻顶点存在长度为2的联通迹的时候，情形稍有不同，故分为以下两种情况讨论：此时合并以后，边的数量减少1条，顶点少1个，面的数量不变，即V(n + 1) = V(n) + 1，E(n + 1) = E(n) + 1，F(n + 1) = F(n)。于是，根据归纳假设，V(n + 1) - E(n + 1) + F(n + 1) = V(n) + 1 - (E(n) + 1) + F(n) = V(n) - E(n) + F(n) = 2。对n + 1顶点多面体，原命题成立。此时，顶点和边的减少情况同上，但是，每有一条长度为2的连通迹，与原来长度为1的直接连通组成一个三角形的面，这个面也会消失，同时连通迹的两条边合并为一条，因此面和边的数量也各自要减1。于是，对存在m个这样的连通迹的情况，V(n + 1) = V(n) + 1，E(n + 1) = E(n) + 1 + m，F(n + 1) = F(n) + m。于是，V(n + 1) - E(n + 1) + F(n + 1) = V(n) + 1 - (E(n) + 1 + m) + F(n) + m = V(n) - E(n) + F(n) = 2。对n + 1顶点多面体，原命题成立。可以简单地想见，这里用的数学归纳法是一个化归思想的一种完美的实践技术。在归约问题规模的时候，除了顶点，当然还可以是边，面等其他要素，或者换个目标，归约成树这样等价于只有1个面的最简单情况。只要能够解决初始条件和递推问题，问题就可以得到证明。甚至有人还专门做了欧拉定理的证明集锦网站，记录了20余种证明方法，从各个角度进行归约，也大多都逃不开这个基本的思路。有兴趣的同学可以参考：https://www.ics./~eppstein/junkyard/euler/ 看了上面网站的内容，发现有这么一个证明，别出心裁，利用角度和计算构造恒等式的方法，独树一帜。这种用到了同一对象不同观察角度下计算同一个物理量来构造恒等式的思想，常在数学证明中见到，也时常用在巧合类魔术的设计中。证明首先用到一个结论，即，多面体经过平面投影，使得各顶点不重合，各边不相交，可以等效为一个二维平面内的图形，原多面体的每个顶点，边和面都和平面图形对应。示意图如下：虽然角度值有所变化，但因为每个立体面的内角和为(k - 2)pi，对应到平面上依然成立，因此，立体和平面两个对象的所有角的和在投影过程下是个常量。哪怕不相等也没关系，我们只要点线面对应过来数量相等就够了，直接考察平面图形，计算所有和原多面体角对应的所有角的和，有两个角度：1. 考察投影下来的每个面，其内角和为(k - 2)pi，面的数量为F，k为边的数量，其中每条边被两个面所计数，因此，所有角的和为2(E - F)pi。（如果你觉得这个结论没有那么显然，其实也可以用归纳法思考，假设所有边，每边用两次，组成1个大的多边形，每拆分增加一个多边形，内角和减2pi，所有的情形都可以归纳到这种情况下。）2. 考察投影下来的每个顶点，如果顶点在图形的内侧，那么其对应的所有角和为圆周角2pi；如果在边缘上，那么需要考察的角的大小为2(pi - theta)，theta为所在平面多边形的外角，而其内角在原多面体上被度量了两次（仔细观察，度量两次和处在投影多边形边缘是等价的，度量一次的都在内侧！），因此需要2倍。而平面多边形的外角和为2pi，因此，这样算下来的所有角的和为2(V - 2)pi。于是，我们有，对任意多面体，2(E - F)pi = 2(V - 2)pi恒成立，于是有V - E + F = 2，欧拉定理得证。以上就是简单多面体欧拉定理的证明了。虽然证明方法不计其数，但是我这边挑选了数学归纳法以及恒等式构造两种极具代表性和创意的方法供大家参考。学会这个证明的同时，大家可以体验到数学之美以及解决问题时用归纳法和恒等思想的思路，做到学以致用。
不过，哪怕是在空间立体几何上的欧拉定理也不止这点内容，你知道数学家最爱做的就是推广，把1维推广到2维，再到n维，看看有没有结构的相通之处或者变化，进而发现事物的本质。下一篇，我们将继续聊聊高维空间以及抽象到图论形式的欧拉定理，来看一看它真正的内核。
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