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在平面几何的“角格点”问题中，有类经典的题型，看似简单明了，却颇有难度需技巧。今选编三例，一起来总结归纳一下，其的内在逻辑和求解思路： 【例一】（如图）△ABC中，∠A=24º，点D在AB边上，且：∠DCA=30º，AC=DB，求：∠ABC的度数。  【分析】 （1）在边AB上取一点E，使AE=AC，连CE，得：AD=AE－DE=BD－DE=BE （2）以AC为边如图作正△ACF，连FD、FE，则∠DCF=30º=∠DCA，∠DAF=60º－24º=36º，由AE=AC=AF，得：∠AEF=72º （3）易证△ACD≌△FCD（SAS），∴DA=DF，∴∠FDE=2∠DAF=72º （4）由∠FDE=72º=∠FED，∴FD=FE，易证：△ADF≌△BEF（SAS），∴FA=FB=FC （5）由FA=FC=FB，得：点F为△ABC的外心，∴∠ABC=∠AFC/2=30º 【例二】（如图）△ABC中，∠A=84º，点D在AB边上，且：AC=DB，∠DCA=∠42º，求：∠ABC的度数。  【分析】 （1）在AD边上取一点E，连CE，使CE=CA，∴∠CEA=∠CAE=84º，∠ACE=12º，∴∠ECD=30º （2）以CE为边（如图）作正△CEF，连FD，∴∠FCD=30º，∴CD为EF的中垂线，∴DE=DF，∵∠FED=36º，∴∠FDG=2×36º=72º （3）在EB边上取一点G，使EG=EC，则：EF=EG=BD，∠FGE=（180º－36º）/2=72º，∴∠FDB=∠FGE=72º，∴FD=FG， （4）易证△FGE≌△FDB（SAS），∴FE=FB，即：FB=FE=FC，∴点F为△CEB的外心 （5）所以：∠ABC=∠EFC/2=30º 【例三】（如图）△ABC中，∠C=24º，点D在BC边上，且：BD=AC，∠DAC=6º，求：∠ABC的度数  【分析】 （1）在CB边的延长线上取一点E，使AE=AC，∴∠AEC=∠ACE=24º，∠ADB=24º＋6º=30º （2）以AE为边如图作正△AEF，连FB、FD，∴∠BEF=36º，由FE=FA，∠EDA=∠EFA/2=30º，∴易证：点F为△AED的外心（可另作证明） （3）半径相等，∴FD=FA=FE，∴∠FDB=36º，由FD=DB，∴∠FBD=（180º－36º）/2=72º （4）所以：∠BFE=72º－36º=36º，∴BE=BF，易证：△ABE≌△ABF，∴∠BAE=∠BAF=30º （5）故：∠ABC=30º＋24º=54º 以上三例之分析，“道听度说”供参考。 |
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