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知识简要介绍： 定义1 给定距离空间 , 是 的子集，如果 中的任意点列在 中有一个收敛子列，则称 是列紧的. 如果这个收敛子列还收敛到 中的点, 则称 是自列紧的. 如果空间 是列紧的, 那么称 是列紧空间. 命题2 中有界集是列紧集，任意有界闭集是自列紧集.
命题3 列紧空间内任意子 集是列紧集；任意闭子空间是自列紧集.
命题4 列紧空间必是完备空间.
在距离空间内，点集有界性保证不了它的列紧性.为了刻画列紧性, Hausdorff 引入了完全有界性概念.
定义5 给定距离空间
(1)设存在 , ,若对任意 ,总存在 ,使得 ,那么称 是 的一个 网. 如果 还是一个有限集, 那么称 是 的一个有限 网. (2)如果对任意 ,都存在 的一个有限 网, 则称集合 是完全有界的. 定理6(Hausdorff定理) 设 是距离空间, (1)若 在 中列紧,则 完全有界; (2)若 是完备空间, 完全有界,则 列紧.
定义7 一个距离空间若有可数稠密子集,就称为是可分的. 定理8 完全有界的距离空间是可分的. 具体见下面学习笔记： 
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