近年来,高考物理试题及高考物理模拟题有不断变深、变难的趋势,有些物理试题的深度已接近于物理竞赛题或大学物理题。比如,有关高等数学中微积分知识的应用,就常常出现在变速运动位移的计算、变力做功的计算等等物理试题中,今天本文就对有关“人船模型”、“弹簧系统”的物理试题中微积分的应用进行一些探讨,希望能对高中师生以后解答这类试题有所帮助。 一、简单的“人船模型”试题 [题目]如图所示,质量为M的船停在静止的水面上,船长为L,一质量为m的人,由船头走到船尾,若不计水的阻力,则整个过程中人相对于静止水面移动的距离为多少,船相对于静止水面移动的距离为多少? 这道题是宁夏石嘴山市第三中学2018届高三12月月考物理试题中的一道试题,类似的题目还出现在“云南省昆明师范专科学校附属中学2022-2023学年高二下学期6月月考物理试题”、“江苏省盐城市东台创新高级中学2021-2022学年高二下学期2月月检测物理试题”、“山东省潍坊市2020-2021学年高二上学期期中考试物理试题”、“辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末物理试题”等等试卷中。 这类试题的解答都是运用动量守恒定律,先得出人和船相对于静止水面的速度之间的关系,即选相互作用的人和船组成的系统为研究对象,设人和船的速度分别为v1和v2(这里v1和v2都可以随时间变化),整个过程中人和船的位移分别为x1和x2,则有: mv1+Mv2=0 对时间积分得: 则mx1+Mx2=0 根据人和船的几何位置关系可得: x1-x2=L(x1的方向为正方向) 联立可解得: (负号表示其方向与x1的方向相反) 二、复杂的“人船模型”试题 [题目]:如图所示,质量为m1的人站在船头上与质量为m2的船共同以速度v0在静止的水面上匀速航行,若不计水的阻力,某时刻人从船头开始向船尾走去,经过时间t,走到了船尾,船头到船尾的距离为L,求此过程中船的位移。 这道题与上一道题相比,难点在于船及上边的人原来就有共同的速度v0,所以系统的总动量不再是0。但解题的思路是相同的: 设人开始走动后人和船相对于静止水面的速度分别为v1和v2(这里v1和v2都可以随时间变化),在时间t内人和船的位移分别为x1和x2,则有: m1v1+m2v2=(m1+m2)v0 对时间积分得: 则有:m1x1+m2x2=(m1+m2)v0t 根据人和船的几何位置关系可得: x2-x1=L(v0的方向为正方向) 联立可解得: 这就是船的位移。 三、两物块通过弹簧相互作用的过程中位移的计算问题 [题目]:如图甲所示,质量分别为m1和m2的两物块A、B中间用一轻弹簧栓接,静置在光滑的水平面上。现给B一水平向右的瞬时速度,大小为3m/s。以此刻为计时起点,两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示。已知0~1s内,物块A运动的位移为0.4m。求: (1)A、B两物块的质量之比; (2)弹簧的最大伸长量。 这道题是山东省潍坊市2022-2023学年高三下学期学科核心素养测评物理试题中的一道题,类似的试题还出现在“重庆市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考物理试题”、“江苏省连云港市灌南县、灌云县2022-2023学年高二上学期期末联考物理试题”、“江西省八校2022-2023学年高二上学期第二次联合考试物理试题”、“江苏省连云港市灌南县、灌云县2022-2023学年高二上学期期末联考物理试题”、“山东省聊城市2022-2023学年高二上学期期末物理试题”等等试卷中。 解:(1)由图乙可知,v0=3m/s,t1=1s时,物块A、B的速度均为v=1 m/s,对物块A、B及弹簧组成的系统由动量守恒定律得: m1v+m2v=m2v0 代入数值及可解得: m1︰m2=2︰1 (2)已知0~1s内,物块A运动的位移为xA=0.4m,这段时间内弹簧不断被拉长,t=1s时两物块速度相等,弹簧伸长量最大。所以,只要能求出这段时间内物块B运动的位移xB,即可求出弹簧的最大伸长量Δxm= xB-xA。 设0~1s内,物块A和B运动的速度分别为v1和v2(这里v1和v2都是随时间变化的),对物块A、B及弹簧组成的系统运用动量守恒定律得: m1v1+m2v2=m2v0 对时间积分得: 其中v0=3m/s,m1=2m2,设x0=v0t1,由图乙知x0=3m 则有:m1xA+m2xB=m2x0 代入数值解得: xB=2.2m 则弹簧的最大伸长量为Δxm= xB-xA=2.2m-0.4m=1.8m。 最后,需要说明的是,像这样的试题,让所有的高中生都去解答,还是不太合适的,说不定还会使部分学生失去学习的信心。 |
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