首先，所有收敛数列的极限也是一个有界数，因此所有收敛数列都是有界数列。因此，所有收敛数列全体所成的集合是有界数列全体所成的集合的子集。 或者说 是的子集，因为所有收敛数列都是有界的，即存在一个常数，使得对于所有，有，因此，所有收敛数列都属于。 其次，任意两个收敛数列的线性组合也是收敛数列。具体来说，假设和是两个收敛数列，和是任意的标量，则也是一个收敛数列，且其极限为 。因此，所有收敛数列全体所成的集合是一个线性子空间。所有收敛数列全体所成的集合是有界数列全体所成的集合的线性子空间。首先，对于任意的，由于收敛，所以一定有界，即。因此，是的子集。 其次，对于任意的和，我们需要证明和也属于。由于和都是收敛数列，所以它们的和也是一个收敛数列。设，，则有： 因此。又由于是一个收敛数列，所以也是一个收敛数列。设，则有： 因此。 综上所述，对于任意的和，都有和。因此，是的线性子空间。
是的线性子空间。要证明是的线性子空间，需要验证以下两个条件：
由于且，因此，。因此，。
由于，因此，。因此，。 因此，满足线性子空间的两个条件，即是的线性子空间
要证明按照给定的范数成为一个赋范线性空间，需要证明以下三条性质成立：
首先证明非负性。由于和，所以。当且仅当时，，此时。 其次证明齐次性。对于任意的和，有 因此，。 最后证明三角不等式。对于任意的，有因此，按照范数成为一个赋范线性空间。 |
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