【原】复习题

让我看看是谁没有认真浏览到第三篇！（有错 请及时交流！）

1.

证明区间 与 同胚, 上的距离均由 下式定义

证明：令.即：

即：

这是一个连续的双射，且反函数是连续的，因此区间与同胚.

2.

设 是实数域,在 上定义距离

则 按照 是一个距离空间但不完备.

先证明是一个度量空间.即验证函数是一个度量函数：

1. 非负性：显然,且;
2. 对称性：;
3. 三角不等式：对任意的,都有：

所以是一个度量空间.但是不完备，这是因为存在柯西列不收敛.取，这是一个柯西列，因为：

但是不收敛，不妨设,那么应该有：

但是显然：.因此矛盾，故柯西列不收敛.

3

设 是以 为距离的紧空间, 是 到它自身的映射. 若对任何 , , 当 时, 有

则 有唯一的不动点.

先证是连续的，这是因为固定某个,对任意的都有,对于任意的满足，,都有：

所以是连续的，又因为是是一个二元连续函数，因此是连续函数.又因为其定义在紧集上，所以最小值可达.设处其达到最小值，不妨假设,那么：

因此在处更小，这与的定义矛盾，因此假设不成立，所以，因此存在性得证.

唯一性：假设都是不动点，那么：

矛盾，所以不动点唯一.

4.

设 为一切有界数列构成的集, 线性运算与 的相同, 在 中定义 范数如下：

其中 . 证明 按照 是不可分的巴拿赫 空间.

赋范空间略

需要证明两个部分：空间的完备性和不可分性.

完备性：任取柯西列,其中表示空间中的某个元素，上标表示这个柯西列的个元素。对于任意给定的.

由于的完备性，所以收敛到,因此收敛到.下边只需要证明

在中即可.因为：

所以空间的完备性得证.因此这是一个Banach空间.

下证不可分性.

反证：假设是可分的，那么存在可数稠密子集.其中每个都是中的元素即某个无穷序列.

记：.显然的基数为.

因为是的可数稠密子集.那么：

由抽屉原理可知，必至少有两个不同的序列.在同一个球中，不妨记这两个序列为,所以：,但是他们在同一个球中，所以：

所以矛盾.因此假设不成立。所以是不可分的.

5.

设 是内积空间, 则 的充分必要条件是对任何数 , 有 .

证明：:,那么：

:那么：

两者相等即意味着：

这意味着：

即：,若数域为实数，取则,取数域为复数域，则分别取那么得到：和.即.

6.

设 是希尔伯特空间中的两个规范正交系, 满足 . 证明当 中之一完备时, 另一个也是 完备的.

由于希尔伯特空间中规范正交系的完备和完全是等价的，因此我们假设完备时，但完备的结论不成立，那么意味着存在,但是有：

考虑范数：

由内积的不等式可知：

所以矛盾假设不成立！

7.

设 . 在 上定义线性算子:

其中 , 则 是有界线性算子, 且

证明：线性算子是显然的，接下来我们只证明算子范数为题设所述.

首先：

所以：

因此：.

特别的，我们取：(对应第个位置为1),因此,且,因此：

两边对取上确界，故得证.

8.

设有 上的算子序列 , 其中 , 则 按强算子拓扑收敛于某一有界线性算子,但不按一致算子拓扑收敛于该 算子.

我们证明该算子强算子收敛于单位算子，但是不依范数收敛于单位算子.

任取 一致收敛， 对任给的 , 存在 , 使得 , 时, 有

取 , 则 时

从而当 时, 对所有自然数 , 有

当 时, 存在 , 使得 时,有

于是 时, 对一切 , 有故 强收敛于单位算子 .

下而我们证明 不收敛于零. 取定 , 对每个 , 我们作 中函数 如下

则

故 按算子范数不收敛于 .

9.

证明 上的有界线性泛函序列

弱收敛于零, 但不依范数收敛于零.

对序列而言，其弱收敛于即对任意的,都有(这是因为是自反空间)：

即证明：

由Riemann-Lebesgue引理可知显然成立.

但是不依范数收敛到0，这是因为取,那么：,不可能依范数收敛到0.

10.

设 为巴拿赫空间, , 则 (第一预解式方程).

首先我们有恒等式：

两边同时左乘和右乘.就得到了我们所需要的.

11.

在 中定义算子 如下: , 其中 , . 证明 由满足 的一切点 组成, 的特征值由 满足 的一切点 组成, 对于 是单映射.

注意到：.对于任意的,都有：

但是，我们取,可以得到：

因此.

即是有界线性算子且算子范数为1.

所以，下边我们分三种情况说明：

1. .(定理6.3书本196)

2. 对于任意的,考虑：

如果,只要取,其他都为0，那么，所以有非零的特征向量.

如果,那么讲上边的式子具体表达出来就是：

那么就是：

所以只要取：.那么就有非零的特征向量.

又因为是闭集，整个单位圆盘都在中，又因为包含了单位圆盘外的所有区域且是开集因此：

3.对.由上可知：.由于.所以：

收敛只可能是,所以为单射.

12.

设 是有界数列, 在 中定义算子 , 其中 . 证明 是紧算子的充分必要条件是 .

事实上，书本上有关于中紧集的判定的习题，但是由于我们之前没讲过，所以这里不直接用.

紧算子：将有界集映为预紧集/将单位球映为预紧集(等价定义).

:设是一个有界集，根据假设是一个预紧集.其中的元素，都是的形式.对任意的大于0，都有有限的网，我们记这个网为(这是根据预紧集的性质得到的).其中是某一个中的元素.那么存在,当时：

由于只有有限个元素，所以可以找到公共的.其中的定义为：(就是余项)

其中是中的基.

事实上.又因为：(前面习题已证.)又因为：.

对于任何一个，由于是网，所以必然有某个使得：

因此：

其中第一项由网的定义小于,第二项由于的性质小于,第三项由于.所以自然小于.因此整个小于.

取为单位圆.则在中，故.从某个开始.

当取遍所有的大于的的正整数，根据数列收敛的定义，我们知道.

:因为：

又是有限秩算子，且收敛到.紧算子的集合是闭集，因此是紧算子.

13.

设 为定义在希尔伯特空间 上的有界线性算子, 令 为 的零 空间, 为 的值域, 证明 .

证明：首先对任意的,都有：.

那么对于任意的:

14，

设自伴算子 满足 且 可换, 则 对任何 自然数 成立.

由于的可交换性，因此有下列分解：

首先是正算子(或者叫非负算子)，

下边我们证明任何两个可交换正算子的乘积还是正算子.

因为是正算子，所以有平方根，即：,且也是正算子，我们不妨以代表，即有：

所以也是正算子.

而分解式1中后一项中是正算子的和还是正算子，总的是两个可交换的正算子的乘积所以是正算子.故结论得证.

15.

设 为可换的投影算子, 则 也是投影算子, 且 . 当任一投影算子 满足 时, 则必满足 .

欲证投影，只需证自伴和幂等；即：

至于幂等就自己验证了.

后边的几个都只需要用到247的定理3.4：只需证：

即可，而这又是十分简单的.