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建议按照老师PPT写（在本文最后）
我们可以考虑以下的有理向量集合： 也就是说，是所有只有有限个分量非零的有理向量的集合。显然，是可数的。现在我们需要证明在中是稠密的。 考虑一个空间中的任意向量，我们需要证明存在一个中的向量序列，满足。我们可以构造出这样一个向量序列： 显然，是中的向量，而且。因此，我们只需要证明可以无限逼近于0。 我们有： 由于是空间中的向量，因此是有限的。因此，对于任意的，存在一个，使得当时，。于是，我们有： 因此，在中是稠密的，从而是可分的空间。
为了证明是完备空间，我们需要证明每一个柯西序列都收敛于中的一个元素。设是中的一个柯西序列，即对于任意的，存在，使得当时，有。我们需要找到一个元素，使得。 由于是柯西序列，因此对于每一个，序列也是柯西序列，其中表示的第个分量。由于是完备的，因此对于每一个，存在，使得。 我们定义，即的第个分量为。我们需要证明，即证明。由于是中的柯西序列，因此有，对于任意的。取极限和，得到，对于任意的。因此有，即。 接下来，我们需要证明。由于是柯西序列，因此对于任意的，存在，使得当时，有。因此有 当时。因此有，即收敛于中的元素。因此是完备空间，即为Banach空间。  |
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