6.3其他矩阵函数
下面是一些MATLAB的更高级的矩阵函数
expm 矩阵指数,即，其中A是一个矩阵。矩阵指数可以用来求常系数线性常微分方程的解析解。
行列式是一个非常重要的概念，可以用于判断矩阵的可逆性、求解线性方程组等。在 MATLAB 中，可以使用函数 det 来计算一个矩阵的行列式。例如，对于一个 的矩阵 ：
>> A = [1 2; 3 4];
可以使用 det 函数来计算其行列式：
>> d = det(A)
d =
-2
可见， 的行列式为 。
特征值分解是将一个矩阵分解为由其特征向量构成的矩阵与一个对角矩阵的乘积的过程，在许多应用中具有重要的意义。在 MATLAB 中，可以使用函数 eig 来计算一个矩阵的特征值和特征向量。例如，对于一个 的矩阵 ：
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
可以使用 eig 函数来计算其特征值和特征向量：
>> [V, D] = eig(A)
V =
-0.2320 -0.7858 0.4082
-0.5253 -0.0868 -0.8165
-0.8187 0.6123 0.4082
D =
16.1168 0 0
0 -1.1168 0
0 0 -0.0000
可见， 是特征向量矩阵， 是特征值构成的对角矩阵。
一个方阵 的矩阵指数函数定义为：
在 MATLAB 中，可以使用函数 expm 来计算一个方阵的矩阵指数。例如，对于一个 的方阵 ：
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
可以使用 expm 函数来计算其矩阵指数：
>> B = expm(A)
B =
1.0e+06 *
1.1189 1.3748 1.6307
2.5339 3.1134 3.6929
3.9489 4.8520 5.7552
对于一个 的矩阵 ：
>> A = [1 2; 3 4];
可以使用 expm 函数来计算其指数：
>> B = expm(A)
B =
51.9690 74.7366
112.1048 164.0738
可见， 的结果是一个 的矩阵，满足矩阵指数的定义。
矩阵逆是矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵的一种特殊情况。在 MATLAB 中，可以使用函数 inv 来计算一个矩阵的逆。例如，对于一个 的矩阵 ：
>> A = [1 2; 3 4];
可以使用 inv 函数来计算其逆矩阵：
>> B = inv(A)
B =
-2.0000 1.0000
1.5000 -0.5000
可见， 是 的逆矩阵。
LU 分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积的过程，在矩阵计算中很常用。在 MATLAB 中，可以使用函数 lu 来计算一个矩阵的 LU 分解。例如，对于一个 的矩阵 ：
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
可以使用 lu 函数来计算其 LU 分解：
>> [L, U, P] = lu(A)
L =
1.0000 0 0
0.1429 1.0000 0
0.5714 0.5000 1.0000
U =
7.0000 8.0000 9.0000
0 0.8571 1.7143
0 0 -0.0000
P =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
可见， 和 分别为 的下三角和上三角矩阵， 是一个置换矩阵。
可以看到，矩阵A被分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U。需要注意的是，LU分解只能应用于非奇异矩阵，即行列式不为0的矩阵。如果矩阵是奇异矩阵，则无法进行LU分解。此外，由于LU分解的计算比较复杂，因此对于大型矩阵，LU分解的计算可能会比较耗时。
正交分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积的过程，在许多应用中比较有用。在 MATLAB 中，可以使用函数 qr 来计算一个矩阵的正交分解。例如，对于一个 的矩阵 ：
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
可以使用 qr 函数来计算其正交分解：
>> [Q, R] = qr(A)
Q =
-0.1231 0.9045 -0.4082
-0.4924 0.3015 0.8165
-0.8616 -0.3015 -0.4082
R =
-8.1240 -9.6011 -11.0782
0 0.9045 1.8090
0 0 -0.0000
可见， 是正交矩阵， 是上三角矩阵，并且 。
奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵乘积的形式的过程，其中一个为列正交矩阵、一个为行正交矩阵、一个为对角矩阵。在许多应用中比较常用。在 MATLAB 中，可以使用函数 svd 来计算一个矩阵的奇异值分解。例如，对于一个 的矩阵 ：
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
可以使用 svd 函数来计算其奇异值分解：
>> [U, S, V] = svd(A)
U =
-0.2148 0.8872 0.4082
-0.5206 0.2496 -0.8165
-0.8263 -0.3879 0.4082
S =
16.8481 0 0
0 1.0684 0
0 0 0.0000
V =
-0.4797 -0.7767 -0.4082
-0.5724 -0.0757 0.8165
-0.6651 0.6253 -0.4082
可见， 是列正交矩阵， 是对角矩阵， 是行正交矩阵，并且 ，其中 表示 的转置矩阵。
