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初三几何综合题 （精选至2022年九年级上半年各地检测题，答案见视频） 1.如图1，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在边CA，CB上， CD=CE，连接DE，AE，BD，过点C作CF⊥AE, 垂足为H，直线CF交直线BD 于F. （1）求证：DF=BF； （2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结 论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）若CD=2，CB=4，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线 时，直接 写出CF的长。  2.如图1，在△ABE和△ACD中，AE=AB，AD=AC,且∠BAE=∠CAD，则可证明得到 △AEC≌△ABD. 【初步探究】（1）如图2，△ABC为等边三角形，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连接QB.请写出AP与BQ的数量关系并说明理由； 【深入探究】（2）如图3，在（1）的条件下，连接PB并延长PB交直线CQ于点D.当点P运动到PD⊥CQ时，若AC=√(2)，求PB的长； 【拓展探究】（3）如图4，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC=1，BC=3，则CD长为____.  3.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC. 【初步感知】（1）特殊情形：如图1，若点D，E分别在边AB，AC上，则DB____EC.(填>、<、=) （2）发现证明：如图2，将图1中△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB=EC. 【深入研究】（3）如图3，△ABC和△ADE都是等边三角形，点C,E,D在同一条直线上，则∠CDB的度数为_____; 线段CE,BD之间的数量关系 为_____。 （4）如图4，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,点C、D、E在同一条直线上，AM为△ADE中DE边上的高，则∠CDB的度数为______; 线段AM,BD,CD之间的数量关系为______.  4.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到 线段BD. （1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的代数式表示）。 （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并给出证明。 （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值。  5.在等腰△ABC中，AB=BC，点D，E在射线BA上，BD=DE，过点E作EF∥BC， 交射线CA于点F。请解答下列问题： （1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图1，求证：AE+BC =CF; (2)当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图2，当点E在 线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图3，请直接写出线段 AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；  【初步探究】 （1）如图，当B、D、E三点共线时，请探究此位置时线段AE、BE、CE之间 的数量关系，并说明 理由； 【拓展延伸】 （2）如图，当B、D、E三点不共线时，连结AE，延长BD交AE于点F，连结 CF，请猜想此位置时线段AF、BF、CF之间的数量关系：_______。  6.如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，直线AC于M，N两点.以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图1），易证BM+CN=BD。 （1）如图2，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN=BD 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由。 （2）如图3，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN=BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明 。  7.如图1，在△ABC中，∠B=60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动.在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN,连结CN. （1）当∠BAM=_____°时，AB=2BM； （2）请添加一个条件：______,使得△ABC为等边三角形； ①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM=AC； ②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其他条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明。  8.△ABC和△ADE都是等边三角形。 （1）如图1，连接BC，CE并延长相交于点P，求证：∠DPE=60°； （2）如图1，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； （3）将△ADE绕点A旋转到图2的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明。   9.如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CA=CB，CD=CE, ∠CAB=∠CBA=45°,∠CDE=∠CED=45°,连接AD、BE. （1）如图1，求证：△ACD≅△BCE; （2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF=BF,AD=3，求△ACD的面积； （3）如图3，BE与AC的延长线交于点G,若CD⊥AD,延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM=CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想。  10.已知点A（0，4）、B（-4，0）分别为平面直角坐标系中y、x轴上一点，将线段OA绕O点顺时针旋转至OC，连接AC、BC. （1）如图1，求∠ACB的度数； （2）若∠AOC=60°，∠AOB的平分线OD交BC于D,如图2，求证：OD+BD=CD； （3）若∠AOC=30°，过A作AE⊥AC交BC于E，如图3，求BE的长。 11.问题背景： （1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系。小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是________. 探索延伸： （2）1）如图2，若四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由。
12.在等边△ABC中，点D是AC边上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CD. （1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB=2，求CE的长； （2）如图2，取CE的中点F，连接AF，DF，猜想AF与DF的关系，并证明你的 猜想； （3）如图3，在（2）的条件 下，连接BE交AF于点G，若GF=DF,请直接写 出的值 13.如图1，在四边形ABCD中，点E为CB延长线上一点，连接DE、BD，∠ADB=∠DBC, ∠DCE与∠DEC互余。 （1）求证：DE⊥CD; （2）如图2，点F为DE上一点，连接AF、BF，AF∥BD，若∠DAF=2∠C，求证：DE平分∠ADB； （3）在（2）的条件下，如图3，点G在BD上，连接CG，∠DCG=∠FAB，若∠AFD+∠BAD=110°，∠DGC=70°，求∠DFB+∠DBF的度数。 14.如图△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE. （1）如图1，若点D在线段BC上，且∠BAC=90°，∠BCE的度数为_____; （2）设∠BAC=α，∠BCE=β。 ①如图2，当点D在线段BC上移动 时，求证：α+β=180°； ②当点D在BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？说明理由； ③当点D在CB的延长线上时，直接写出α，β之间的数量关系：_______ 15.在△ABC和△CDE中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，点D是CB延长线上一动点，点E在线段AC上，连接DE与AB交于点F. （1）如图1，若∠EDC=30°，EF=4，求AF的长。 （2）如图2，若BD=AE，求证：AF=AC+BD。 （3）如图3，移动点D，使得点F是线段AB的中点时，DB=,AB=，点P、Q分别是线段AC、BC上的动点，且AP=CQ，连接DP、FQ，请直接写出DP+FQ的最小值。 16.1.发现问题：如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE. 试猜想CD与BE的数量关系是______; 2.问题探究：如图2，四边形ABCD中，∠ABC=45°,∠CAD=90°,AC=AD,AB=2BC=6。 求BD的长。 3.问题解决：如图3，△ABC中，AC=2,BC=3,∠ACB是一个变化的角，以AB 为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，求CD的长度最大值。 17.如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE. 将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°）. （1）如图2，在旋转过程中， ①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由； ②当CE=CD时，AG与EF交于点H，求GH的长。 （2）如图3，延长CE交直线AG于点P。 ①求证：AG⊥CP; ②在旋转过程 中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。 18.已知等腰三角形ABC中，AB=AC=20cm，∠ABC=30°，CD⊥AB交BA延长线于点D, AF为CA的延长线，点P从A点出发以每秒2cm的速度在射线AF上向右运动，连接BP，以BP为边，在BP的左侧作等边三角形BPE，连接AE. （1）如图1，当BP⊥AC时，求证：△ABP≌△ACD; （2）当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线AP同侧，求证：AP=AB+AE； （3）在点P运动过程中，连接DE，当点P运动___秒时，线段DE长度取到最小值。 19.如图1.在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点。 （1）观察猜想 图1中，线段MN、NP的数量关系是______,∠MNP的大小为______； （2）探究证明 把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,请求出△MNP面积的最大值。 20.等腰Rt△ABC，CA=CB，D在AB上，CD=CE，CD⊥CE. （1）如图1，连接BE，探究线段AD与线段BE的关系并证明； （2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，①求证：FD=FB； ②如图3，若AE交BC于N，O为AB的中点，连接OC，交AN于M，连接 FM，FN。当=，则的最小值为______。 21.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，AB=13。 （1）如图2，点E是边BC上一点，△ABC沿着AE折叠，点C恰好与斜边AB上点D重合，求CE的长。 （2）如图3，点F为斜边上AB上动点，连接CF，在点F的运动过程中，若△BCF为等腰三角形，请直接写出AF的长。 22.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段。例如：如图1，△ABC中，AB=AC，△ADE中，AD=AC，且∠BAC=∠DAE,连接DB，EC，则可证得△ADB≅△AEC，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段。 （1）如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°. ①图中线段AE的“友好”线段是____; ②连接AD，若AC=4，AD=2，∠DAC=45°，求AE的长； （2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，P是△ACB外一点，∠APC=75°，PC=, AP=4，求线段BP的长。 23.【问题背景】 （1）如图1，△ABC和△BED均为等边三角形，A、D、E三点共线，则∠AEC=____. 【变式迁移】 （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，DE=2√(7)，DC=4，求BD的值； 【拓展创新】 如图3，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=6，求△ABC的面积。 24.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E和点F分别从点D和点B同时出发，点E沿折线DAB按点D→A→B方向向终点B运动，点F沿线段BD按B→D方向向终点D运动，点E和点F的运动速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止 运动，设运动时间为t秒。 （1）当点F运动到BD的中点时，求AE的长； （2）当△BEF的面积是矩形ABCD面积的时，请直接写出t的值； （3）若点F不与点B和点D重合，在点E和点F的运动过程中，矩形ABCD的边上有一点G，且点A，E，F，G构成的四边形是平行四边形，请直接写出线段GE的长。 25.问题背景：如图1，在△ABC与△ADE中，若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE, 则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形； 尝试运用：如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，将线段AC绕点C顺时针旋转90°至CD，DE∥AB，连接BE，CE，∠BCE=45°.若AB=2，DE=4，求BE的长； 拓展创新：如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，将线段AC绕点C顺时针旋转90°至CD，DE∥AB，连接BE，CE，∠BCE=45°，∠ACB=∠DCE.直接写出的值。 |
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