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北京西城中考二模数学28题
作为中国的高考和中考必考科目之一，数学一直是广大学子的“痛点”之一。而在北京西城区中考二模中，数学28题则成为了不少学子们感到困惑的难题。以下是对这道题目的分析和解答。
一、题目内容
28.已知等比数列$\left \{ a_n \right \}$ 满足 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left ( 1-a_n \right )=2$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2^n}$ 的值是（ ）
(A) 1 (B) $\dfrac{2}{3}$ (C) $\dfrac{1}{2}$ (D) $\dfrac{1}{3}$
二、解题思路
此题涉及到等比数列和级数，解题最好使用通项公式。观察题目可知，已知等比数列 $\left \{ a_n \right \}$ 的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$（其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比）。由于 $q \neq 1$，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{a_1}{1-q}$。而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left ( 1-a_n \right )=2$ 可以转化为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-2+a_n)=\frac{a_1}{1-q}=2$。即 $\frac{a_1}{1-q}=2$，解得 $a_1=2-q$。
因此，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{2^n} = a_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^0+a_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^1+a_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\cdots =\left(\dfrac{2-q}{1-2}\right)\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$。
三、答案
综上所述，28题的答案为 $\boxed{\textbf{(B)}}\dfrac{2}{3}$。
四、总结
解题之前最好先观察题目，根据题目的特点和所涉及的知识点来选择解题方法。在使用公式的时候，计算过程一定要认真，细心，不要忽略任何一个细节。此外，做数学题目的关键还是多练习，熟能生巧，多动脑思考，多探索不同的解题方法，才能在考场上更加得心应手。
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