幂

提示：本条目的主题不是杨幂。

本文介绍的是代数概念。关于几何定理，请见“圆幂定理”。

幂运算（英语：Exponentiation），又称指数运算，一种数学运算，表示为bⁿ，其中，b被称为底数，而n被称为指数，其结果为b自乘n次。同样的，把${\displaystyle b^{n}}$看作乘方的结果，叫做“b的n次幂”或“b的n次方”。

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}$

通常指数写成上标，放在底数的右边。当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，${\displaystyle b^{n}}$通常写成b^n或b**n，也可视为超运算，记为b[3]n，亦可以用高德纳箭号表示法，写成b↑n，读作“b的n次方”。

当指数为1时，通常不写出来，因为运算出的值和底数的数值一样；指数为2时，可以读作“b的平方”；指数为3时，可以读作“b的立方”。

bⁿ的意义亦可视为：

${\displaystyle b^{n}=1\times \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}$

起始值1（乘法的单位元）乘上底数（b）自乘指数（n）这么多次。这样定义了后，很易想到如何一般化指数0和负数的情况：除0外所有数的零次方都是1；指数是负数时就等于重复除以底数（或底数的倒数自乘指数这么多次），即：

${\displaystyle b^{0}=1\qquad }$

${\displaystyle b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)}$。

以分数为指数的幂定义为${\displaystyle b^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}}$，即b的m次方再开n次方根

0的0次方目前数学家没有给予正式的定义，部分领域中，如组合数学，常用的惯例是定义为1。也有人主张定义为1。

幂不符合结合律和交换律。

因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的幂在计算机科学中很有用。

目录

重要的恒等式编辑

运算法则编辑

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

${\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m n}}$ 

• 同底数幂相除，底数不变，指数相减：

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$ 

• 幂的乘方，底数不变，指数相乘：

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}$ 

• 同指数幂相乘，指数不变，底数相乘：

${\displaystyle a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}}$ 

• 同指数幂相除，指数不变，底数相除：

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}}$ 

其他等式编辑

• ${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ 
• ${\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)}$ 
• ${\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)}$ 
• ${\displaystyle x^{1}=x\,\!}$ 
• ${\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)}$ 
• ${\displaystyle (x^{m})^{n}=x^{mn}}$ 
• ${\displaystyle x^{i}=e^{i\ln x}=\cos(\ln x) i\sin(\ln x),\quad i^{2}=-1}$ 

运算律编辑

加法和乘法遵守交换律，比如：2 3 = 5 = 3 2，2×3 = 6 = 3×2，但是幂的运算不遵守交换律，${\displaystyle 2^{3}=8}$ ，但是${\displaystyle 3^{2}=9}$ 。

同样，加法和乘法遵守结合律，比如：(2 3) 4 = 9 = 2 (3 4)，(2×3)×4 = 24 = 2×(3×4)，幂同样不遵守：${\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096}$ ，但是${\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352}$ 。

幂的运算顺序通常由上到下：

${\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\times c)}=a^{b\times c}.}$ 

整数指数幂编辑

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂编辑

表达式${\displaystyle a^{2}=a\cdot a}$ 被称作a的平方，因为边长为a的正方形面积是${\displaystyle a^{2}}$ 。

表达式${\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a}$ 被称作a的立方，因为边长为a的正方体体积是${\displaystyle a^{3}}$ 。

所以${\displaystyle 3^{2}}$ 读作3的平方，${\displaystyle 2^{3}}$ 读作2的立方。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如${\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243}$ ，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

${\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}}$ 

指数是1或者0编辑

注意${\displaystyle 3^{1}}$ 表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意${\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}}$ ，${\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}}$ ，${\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}}$ ，${\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}}$ ，

继续，得到${\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3}$ ，所以${\displaystyle 3^{0}=1}$ 

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则${\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}}$ 

当${\displaystyle m=n}$ 时，${\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}}$ 

• 任何数的1次方是它本身。

负数指数编辑

我们定义任何不为0的数的-1次方等于它的倒数。

${\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}.}$ 

对于非零a定义${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$ 。因为当${\displaystyle a=0}$ 时分母是0而没有意义。

这个定义是因为${\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m n}}$ ，当m=-n时

${\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\, \,n}=a^{0}=1,}$ 

因为${\displaystyle a^{0}}$ 已经定义了，所以${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$ 。

或者还可以像定义a的0次方一样定义：

通过运算法则${\displaystyle {\frac {x^{m}}{x^{n}}}=x^{m-n}}$ 

当${\displaystyle m=0}$ 时，可以约去分子得${\displaystyle x^{-n}=x^{0-n}={\frac {x^{0}}{x^{n}}}}$ 

负数指数${\displaystyle a^{-n}}$ 还可以表示成1连续除以n个a。比如：

${\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}$ .

特殊数的幂编辑

10的幂编辑

主条目：科学计数法

在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：${\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001}$ 

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 ${\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}}$ ，近似值 ${\displaystyle 2.998\times 10^{8}}$ .

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 ${\displaystyle 10^{3}}$ ，词头“毫”就是 ${\displaystyle 10^{-3}}$ 

2的幂编辑

主条目：2的幂

1的幂编辑

1的任何次幂都为1

0的幂编辑

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是悬而未决的，某些领域下常用的惯例是约定为1。^[1]但某些教科书表示0的0次方为无意义。^[2]也有人主张定义为1。

负1的幂编辑

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂编辑

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当${\displaystyle a>1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to \infty }$ 

当${\displaystyle a<-1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to -\infty }$ 

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当${\displaystyle |a|<1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to 0}$ 

1的幂永远都是1

当${\displaystyle a=1}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle a^{n}\to 1}$ 

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当${\displaystyle n\to \infty ,\left(1 {\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e}$ 

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂编辑

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

• 有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义
• 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根编辑

 

从上到下：${\displaystyle x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}}$ 

主条目：方根

一个数a的n次方根是x，x使${\displaystyle x^{n}=a}$ 。

如果a是一个正实数，n是正整数，那么方程${\displaystyle x^{n}=a}$ 只有一个正实数根。 这个根被称为a的n次方根，记作：${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$ ，其中${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$ 叫做根号。或者，a的n次方根也可以写成${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}}$ . 例如${\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2}$ 

当指数是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ 时根号上的2可以省略，如：${\displaystyle {\sqrt {4}}={\sqrt[{2}]{4}}=2}$ 

有理数幂编辑

有理数指数通常可以理解成

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$ 

e的幂编辑

主条目：指数函数

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的：

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1 {\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

指数函数的定义是：

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1 {\frac {x}{n}}\right)^{n}}$ 

可以很简单地证明e的正整数k次方${\displaystyle e^{k}}$ 是：

${\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1 {\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[\left(1 {\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1 {\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1 {\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}$ 

${\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1 {\frac {k}{m}}\right)^{m}}$ 

实数指数幂编辑

 

y = b^x对各种底数b的图像，分别为绿色的10、红色的e、蓝色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成^[3]：

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},}$ 

例如：

${\displaystyle x\approx 1.732}$ 

于是

${\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}$ 

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数${\displaystyle \ln {x}}$ 是指数函数${\displaystyle e^{x}}$ 的反函数。 它的定义是：对于任意${\displaystyle b>0}$ ，满足

${\displaystyle b=e^{\ln b}}$ 

根据对数和指数运算的规则：

${\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}$ 

这就是实数指数幂的定义：

${\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,}$ 

实数指数幂${\displaystyle b^{x}}$ 的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

负实数的实数幂编辑

如果a是负数且n是偶数，那么${\displaystyle x^{n}=a}$ 无实数解。 如果a是负数且n是奇数，那么${\displaystyle x^{n}=a}$ 有一个负数解。

使用对数和有理数指数都不能将${\displaystyle a^{k}}$ （其中a是负实数，k实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$ （n是奇数）可以使用n次方根来计算，但是因为没有实数x使${\displaystyle x^{2}=-1}$ ，对于${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}}$ （n是偶数）时必须使用虚数单位i。

使用对数的方法不能定义a ≤ 0时的${\displaystyle a^{k}}$ 为实数。实际上，${\displaystyle e^{x}}$ 对于任何实数x都是正的，所以${\displaystyle \ln(a)}$ 对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数a因为它依赖于连续性。函数${\displaystyle f(r)=a^{r}}$ 对于任何正的有理数a是连续的，但是对于负数a，函数f在有些有理数r上甚至不是连续的。

例如：当a = -1，它的奇数次根等于-1。所以如果n是正奇数整数，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=-1}$ 当m是奇数，${\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=1}$ 当m是偶数。虽然有理数q使${\displaystyle -1^{q}=1}$ 的集合是稠密集，但是有理数q使${\displaystyle -1^{q}=-1}$ 的集合也是。所以函数${\displaystyle -1^{q}}$ 在有理数域不是连续的。

正实数的复数幂编辑

e的虚数次幂编辑

主条目：指数函数

 

指数函数e^z可以通过(1 z/N)^N当N趋于无穷大时的极限来定义，那么e^iπ就是(1 iπ/N)^N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 iπ/N)^N的值通过N重复增加在复数平面上展示，最终结果就是(1 iπ/N)^N的准确值。可以看出，随着N的增大，(1 iπ/N)^N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式。

复数运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解${\displaystyle e^{ix}}$ （x是实数）。想象一个直角三角形(0, 1, 1 ix/n)（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的n，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于x/n弧度。对于所有k，三角形(0, (1 ix/n)^k, (1 ix/n)^{k 1})互为相似三角形。所以当n足够大时(1 ix/n)ⁿ的极限是复数平面上的单位圆上x弧度的点。这个点的极坐标是(r, θ) = (1, x),，直角坐标是（cos x, sin x）。所以${\displaystyle e^{ix}=\cos x i\sin x}$ 。这就是欧拉公式，它通过复数的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式${\displaystyle e^{z}=1}$ 的解是一个整数乘以2iπ^[4]：

${\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$ 

更一般地，如果${\displaystyle e^{b}=a}$ ，那么${\displaystyle e^{z}=a}$ 的每一个解都可以通过将2iπ的整数倍加上b得到：

${\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b 2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.}$ 

这个复指数函数是一个有周期2iπ的周期函数。

更简单的：${\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x iy}=e^{x}(\cos y i\sin y)}$ 。

三角函数编辑

主条目：欧拉公式

根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z} e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}$ 

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

${\displaystyle e^{i\cdot (x y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,}$ 

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂编辑

${\displaystyle e^{x iy}}$ 可以分解成${\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}}$ 。其中${\displaystyle e^{x}}$ 是${\displaystyle e^{x iy}}$ 的模，${\displaystyle e^{iy}}$ 决定了${\displaystyle e^{x iy}}$ 的方向

正实数的复数幂编辑

如果a是一个正实数，z是任何复数，${\displaystyle a^{z}}$ 定义成${\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}$ ，其中x = ln(a)是方程${\displaystyle e^{x}=a}$ 的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

${\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2} i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692 0.63896i}$ 

${\displaystyle e^{i}=0.54030 0.84147i}$ 

${\displaystyle 10^{i}=-0.66820 0.74398i}$ 

${\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1}$ 

在函数中编辑

当函数名后有上标的数（即函数的指数），一般指要重复它的运算。例如${\displaystyle f^{3}(x)}$ 即${\displaystyle f(f(f(x)))}$ 。特别地，${\displaystyle f^{-1}(x)}$ 指${\displaystyle f(x)}$ 的反函数。

但三角函数的情况有所不同，一个正指数应用于函数的名字时，指答案要进行乘方运算，而指数为-1时则表示其反函数。例如：${\displaystyle (\sin x)^{-1}}$ 表示${\displaystyle \csc x}$ 。因此在三角函数时，使用${\displaystyle \sin ^{-1}x}$ 来表示${\displaystyle \sin x}$ 的反函数${\displaystyle \arcsin x}$ 。

在抽象代数中编辑

计算自然数（正整数）n的aⁿ的算法编辑

最快的方式计算${\displaystyle a^{n}}$ ，当n是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

伪代码：

1. 1 → y, n → k, a → f 2.若k不為0,執行3至6 3.若k為奇數, y * f → y 4. k [[位操作#移位|右移]]1位（即k / 2 → k ,小數點無條件捨去） 5. f * f → f 6.回到2 7.傳回y

在C/C 语言中，你可以写如下算法：

double power (double a, unsigned int n) { double y = 1; double f = a; unsigned int k = n; while (k != 0) { if (k % 2 == 1) y *= f; k >>= 1; f *= f; } return y; }

此算法的时间复杂度为${\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!}$ ，比普通算法快（a自乘100次，时间复杂度为${\displaystyle \mathrm {O} (n)\!}$ ），在n较大的时候更为显著。

例如计算${\displaystyle a^{100}}$ ，普通算法需要算100次，上述算法则只需要算7次。若要计算${\displaystyle a^{n}(n<0)}$ 可先以上述算法计算${\displaystyle a^{|n|}}$ ，再作倒数。

注释编辑

1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'école Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
2. ^ 康轩国中1上《FUN学练功坊①》P.35：a的0次方=1(a≠0)(注：0的0次方为无意义)
3. ^ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
4. ^ This definition of a principal root of unity can be found in:
   • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7.  Online resource
   • Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6.  Defined on page 351, available on Google books.
   • 'Principal root of unity', MathWorld.

另见编辑

• 迭代幂次

外部链接编辑

• 指数的历史