【原】换元积分法与分部积分法

前面介绍过定积分与不定积分，以及联系两者的微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式。尽管牛顿-莱布尼兹公式给出了定积分与原函数(不定积分)之间的关系。然而求出函数不定积分的初等函数表达式以及求出定积分的精确值通常是困难的，而且没有一般方法。但有一些常用的技巧，下文进行简要介绍。

第一类换元积分法

​由其中函数F(u)为f(u)的一个原函数，即

由于积分是求导的逆运算，直接求导便可以证明上述结论。​由于使用第一类换元积分法需要将被积函数凑成最左边积分号后面的微分形式，因此第一类换元积分法又叫凑微分法。

第二类换元积分法

    若函数

​

存在反函数

​

则有

​

其中

​

上述结论也可以通过求导直接证明。使用第二类换元积分法需要选取合适的函数表示x。

分部积分法

​

上式也可以写成

​

上述结论同样可以通过求导证明。

    根据牛顿-莱布尼兹公式，定积分等于不定积分在积分上下限之差。因此上述三种积分方法也可以用于定积分。