【原】【2020浙江杭州中考试卷23】【特殊多边形】

1.试题内容

【2020浙江杭州中考试卷23】(12分)

如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．

(1)设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．

(2)连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE＝PF．

②若DF＝EF，求∠BAC的度数．

2.解法分析

第一问

等边三角形+直角三角形

∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，

∴∠AOE＝60°，OE=(1/2)OA=1/2，

AE＝EB=(√3)OE=(√3)/2，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠C＝60°，

∵OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形，

∵点F是半径OC的中点，

∴BF⊥AC，

∴∠AFB＝90°，

∵AE＝EB，

∴EF=(1/2)AB=(√3)/2．

第二问①

平行四边形

取OB的中点G，连接FG、EG，

∵点F是半径OC的中点，

∴FG∥ BC，FG=(1/2)BC，

∵点O是AC的中点，点E是AB的中点，

∴OE∥ BC，OE=(1/2)BC，

∴OE∥ FG，OE=FG，

∴四边形OEGF是平行四边形，

∴PE＝PF．

第二问②

等腰(直角)三角形

作FH⊥AB于点H，

由题意得：OE∥ FH∥ BC，

∴EH/HB=OF/FC=1，

∴EH＝HB，

∴FH垂直平分线段EB，

∴EF＝BF，

∵DF＝EF，

∴DF＝BF，

∴△BDF是等腰三角形，

∵DO＝BO，

∴FO⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝45°．

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