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难度系数  ★★★★★ 试题内容 在△ABC中，AB=AC，点D是射线AC上一个动点，点G是CB延长线上一点，且AD=BG，DE∥BC，交直线AB于点E，EF平分∠AED，交射线AC于点F，FP∥DE，交直线AB于点P，连接DG交直线AB于点Q. (1)①如图1，当AB=AC=BC=4，点D是AC中点时，PQ的长是 ； ②如图2，当AB=5，BC=3，点D在边AC上移动时，PQ的长是否为定值？若是，请求出PQ的值；若不是，请说明理由； (2)当AB=a，BC=b，点D在边AC的延长线上移动时，请直接写出PQ的长(用含有a、b的代数式表示).  解法分析：第一问①    ①△APF和△AED都是等边三角形⇒PF=PA，DE=AD， ②角平分线+平行线⇒等腰三角形 ∠1=∠2，∠1=∠3⇒∠2=∠3⇒PE=PF=PA， ③平行线背景下的相似(全等) △EQD∼△BQG，DE=AD=BG⇒EQ=BQ， ④PQ=PE+EQ=(1/2)AE+(1/2)BE=(1/2)AB=2. ∴PQ的长是2.  解法分析：第一问②  第②问是第①问的类比迁移，解题思路与①一致. ①△APF和△AED都是腰底之比为5:3的等腰三角形⇒PF=(3/5)PA，DE=(3/5)AD， ②角平分线+平行线⇒等腰三角形 ∠1=∠2，∠1=∠3⇒∠2=∠3⇒PE=PF=(3/5)PA， ③平行线背景下的相似 △EQD∼△BQG，DE=(3/5)AD=(3/5)BG⇒EQ=(3/5)BQ， ④PQ=PE+EQ =(3/5)PA+(3/5)BQ =(3/5)(AB-PQ)， ∴PQ=(15/8)， ∴PQ的长为定值(15/8). 解法分析：第二问1
 第二问是第一问的类比迁移，解题思路与第一问一致. ①△APF和△AED都是腰底之比为a:b的等腰三角形⇒PF=(b/a)PA，DE=(b/a)AD， ②角平分线+平行线⇒等腰三角形 ∠1=∠2，∠1=∠3⇒∠2=∠3⇒PE=PF=(b/a)PA， ③平行线背景下的相似 △EQD∼△BQG，DE=(b/a)AD=(b/a)BG⇒EQ=(b/a)BQ， ④PQ=PE-EQ =(b/a)PA-(b/a)BQ =(b/a)(PA-BQ) =(b/a)(PA+PB-BQ-PB) =(b/a)(AB-PQ)， ∴PQ=(ab)/(a+b). 解法分析：第二问2
当几何元素的相对位置发生变化时，推理过程虽略有不同，但结论一致. ④PQ=PE-EQ =(b/a)PA-(b/a)BQ =(b/a)(PA-BQ) =(b/a)(PA-PB-BQ+PB) =(b/a)(AB-PQ)， ∴PQ=(ab)/(a+b). 动态演示
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