2021江苏镇江27
将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A(-6,0)，点B(0,2)，点C(-4,8)，二次函数=++(≠0)的图象经过点A、B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D.
(1)求该二次函数的表达式及点D的坐标.
(2)点M在边AC上(异于点A、C)，将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开.
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线;(要求:尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
②连接MP、NP，在下列选项中:
A.折痕与AB垂直
B.折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上
C.=
D.=
所有正确选项的序号是 ;(本小题全部选对的得2分，有选错的得0分，部分选对的得1分)
③点Q在二次函数=++(≠0)的图象上，当△PDQ∽△PMN时，求点Q的坐标.
解法分析(1)
将点A(-6,0)、点B(0,2)代入抛物线解析式得：
36-6+=0①，=2②，
∵抛物线的对称轴经过点C，
∴-=-4③，
联立①②③解得：
=，=，=2，
∴抛物线的解析式为：=++2，
∵=++2=(+4)-，
∴顶点D的坐标为(-4,-).
解法分析(2)①
尺规作图
如图，点N，直线即为所求.
主要作图步骤
1.作∠CMN=∠CAB，即MN∥AB，
2.作线段MN的垂直平分线.
解法分析(2)②
选项A正确
∵折叠后，点A落在直线AB上，
∴折痕与AB垂直.
选项B错误
记折痕与MN的交点为E，线段AB的中点为F，
则：点E在线段CF上移动，
∵点M在边AC上(异于点A、C)，
∴点E不与C、F重合，
∴点E不可以落在抛物线的对称轴上，
∴折痕与MN的交点不可以落在抛物线的对称轴上.
选项C错误，选项D正确
作FQ⊥AB交抛物线的对称轴于点Q，连接QA、QB，
根据平行线分线段成比例证明：
==，
根据锐角三角函数证明：
tan∠HQF=tan∠BAO=，
∴=，
∴AF=QF，
∴∠QAF=45°；
平行线分线段成比例定理推论
若AB∥CD，则===.
根据上述定理：
=，
根据“两组对应角相等的两个三角形相似”证明：△PGE∼△QHF，
∴=，
∴=，
根据“夹角相等，夹边成比例的两个三角形相似”证明：△PME∼△QAF，
∴∠PME=∠QAF=45°，
∵PM=PN，
∴△MPN是等腰直角三角形，
∴=.
综上所述，正确选项的序号是AD.
妙证∠MPN=90°
该解法由江苏镇江新区大港中学提供.
作点M关于“抛物线对称轴”的对称点M'，
∵点P是“线段MM'的垂直平分线”和“线段MN的垂直平分线”的交点，
∴点P是三角形MM'N的外接圆的圆心，画出圆P；
∵抛物线与轴交于点A(-6,0)和点E(-2,0)，
易证：∠BEO=45°，
由抛物线的对称性可得：
点C、M'、E三点共线，
易证：==，
∠NMM'=∠BAE，
∴△NMM'∼△BAE，
∴∠MM'N=∠AEB=135°，
∴劣弧MN所对的圆周角为45°，
∴∠MPN=90°.
解法分析(2)③
参数坐标与等腰直角三角形
∵△PDQ∽△PMN，
∴△PDQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，
∴过点P作轴的平行线，交抛物线于点Q1、Q2，
当PD=PQ1=PQ2时，△PDQ∽△PMN，
设点P的坐标为(-4,)，
则PQ1=PQ2=PD=+，
∴点Q1的坐标为(-,)，
点Q2的坐标为(--,)，
∴=(-)+(-)+2，
解得：1=，2=-(舍去)，
∴点Q1的坐标为(2,)，
点Q2的坐标为(-10,)，
∴点Q的坐标为(2,)或(-10,).
