试题内容
如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,点E为边AB上一个动点,延长BA到点F,使AF=AE,且CF、DE相交于点G.
(1)当点E运动到AB中点时,证明:四边形DFEC是平行四边形;
(2)当CG=2时,求AE的长;
(3)当点E从点A开始向右运动到点B时,求点G运动路径的长度.
解法分析(1)
平行四边形的判定
1.菱形ABCD⇒CD∥EF；
2.点E运动到AB中点⇒AB=2AE，AF=AE⇒EF=2AE，进而证明：CD=AB=EF；
3.根据"一组对边平行且相等"证明四边形DFEC是平行四边形.
解法分析(2)
1.构造直角三角形是求线段长度的常用方法，也利于发挥60°角的作用.
2.CD【已知】和EF(2AE)【未知】位于同一组八字形相似三角形中.
1.作CH⊥直线AB于点H；
2.在Rt△BHC中，BH=1，CH=；
3.CG的长度与菱形的边相等⇒等腰三角形CDG，进而可证明等腰三角形FEG；
4.设AE=，则GF=EF=2，在Rt△FHC中，由勾股定理得：
FH+HC=FC，
即(+3)+()=(2+2)，
解得：=，=-2(舍去)，
所以AE的长为.
解法分析(3)
初中阶段求路径长只能是线段或圆弧→画出起始点-中间点-终止点，猜想即可.
1.根据相似三角形的性质得：==⇒BG=BD=；
2.作GI⊥AB于点I，在Rt△GIA和Rt△GIB中，
根据勾股定理即可求得：AG=，
即：点G运动路径的长度为.
猜想路径仅限于选择填空题，对于解答题来说，我们需要弄明白为什么点G的运动路径为直线型.
1.延长AG交CD于点K，即点A、G、K三点共线；
2.易证△CDG∼△FEG，△KDG∼△AEG⇒
==⇒==2⇒KD=1；
3.在点E的移动过程中，KD长度不变⇒K是定点，AK是定线段⇒点G在AK上移动.
