中考数学复习6

草根天地 2012-02-29

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八．几何计算题选讲

几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。

一、三种常用解题方法举例

例1．如图，在矩形ABCD中，以边AB为直径的半圆O恰与对边CD相切于T，与对角线AC交于P，PE⊥AB于E，AB=10，求PE的长.

解法一：（几何法）连结OT，则OT⊥CD，且OT= AB＝5

BC=OT=5 ,AC= =

∵BC是⊙O切线，∴BC² =CP·CA.

∴PC= ，∴AP=CA-CP= .

∵PE∥BC ∴ ，PE= ×5=4.

说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件.

解法二：（代数法）

∵PE∥BC，∴ . ∴ .

设：PE=x，则AE=2 x ，EB=10–2 x.

连结PB. ∵AB是直径，∴∠APB=90⁰.

在Rt△APB中，PE⊥AB，∴△PBE∽△APE .

∴ .∴EP=2EB，即x=2（10–2x）.

解得x=4. ∴PE=4.

说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系.

解法三：（三角法）

连结PB，则BP⊥AC.设∠PAB=α

在Rt△APB中，AP=10COSα，

在Rt△APE中，PE=APsinα, ∴PE=10sinαCOSα.

在Rt△ABC中, BC=5,AC= .∴sinα= ,

COSα= .∴PE=10× =4.

说明：在几何计算中，必须注意以下几点：

（1）注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.

（2）注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化.

（3）注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用.

二.其他题型举例

例2.如图，ABCD是边长为2 a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切⊙O于E，与BA的延长线交于F，求EF的长.

分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.

解：连结OE，∵CE切⊙O于E， ∴OE⊥CF ∴△EFO∽△BFC，∴ ，又∵OE= AB= BC，∴EF= FB

设EF=x，则FB=2x，FA=2x–2a

∵FE切⊙O于E ∴FE²=FA·FB，∴x²=（2x–2a）·2x

解得x= a， ∴EF= a.

例3．已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，且点O₁在⊙O₂上，连心线O₁O₂交⊙O₁于点C、D，交⊙O₂于点E，过点C作CF⊥CE，交EA的延长线于点F，若DE=2，AE=

（1）求证：EF是⊙O₁的切线；

（2）求线段CF的长；

（3）求tan∠DAE的值.

分析：（1）连结O₁A，O₁E是⊙O₂的直径，O₁A⊥EF，从而知

EF是⊙O₁的切线.

（2）由已知条件DE=2，AE= ，且EA、EDC分别是⊙O₁的切线和割线，运用切割线定理EA²=ED·EC，可求得EC=10.由CF⊥CE，可得CF是⊙O₁的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+ .又CE=10，由勾股定理可得：（x+ ）²= x²+10²，解得 x= .即CF= .

（3）要求tan∠DAE的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE的直角三角形；②把求tan∠DAE的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值.

解：（1）连结O₁A，

∵O₁E是⊙O₂的直径，∴O₁A⊥EF

∴EF是⊙O₁的切线..

（2）∵DE=2，AE= ，且EA、EDC分别是⊙O₁的切线和割线

∴EA²=ED·EC，∴EC=10

由CF⊥CE，可得CF是⊙O₁的切线，从而FC=FA.在Rt△EFC中，设CF= x，则FE= x+ .又CE=10，由勾股定理可得：（x+ ）²= x²+10²，解得 x= .即CF= .

（3）解法一：（构造含∠DAE的直角三角形）

作DG⊥AE于G，求AG和DG的值.分析已知条件，在Rt△A O₁E中，三边长都已知或可求（O₁A=4，O₁E=6），又DE=2，且DG∥A O₁（因为DG⊥AE），运用平行分线段成比例可求得DG= 从而tan∠DAE= .

解法二：（等角转化）

连结AC，由EA是⊙O₁的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan∠ACD.易得∠CAD=90⁰，所以只需求的值即可.观察和分析图形，可得△ADE∽△CAE， .从而tan∠ACD= ，即tan∠DAE= .

说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE的长.

（2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.

例4.如图，已知矩形ABCD，以A为圆心，AD为半径的圆交AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于F，CM=2，AB=4.

（1）求⊙A的半径；

（2）求CF的长和△AFC的面积.

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在Rt△ACD中，AC²=CD²+AD²，∴（2+AD）²=4²+AD²，解得AD=3.

（2） A作AG⊥EF于G.∵BG=3，BE=AB―AE=1，∴CE=

由CE·CF=CD²，得CF= .又∵∠B=∠AGE=90⁰，∠BEC=∠GEA，∴△BCE∽_△GAE.∴ ，即 S△_AFC= CF·AG= .

例5.如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S△_ABC= ，∠B为锐角，且关于x的方程x²–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D是劣弧AC上的任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F.

（1）求∠B的度数；

（2）求CE的长.

分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.

解：（1）∵关于x的方程x²–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，

∴Δ=（-4cosB）²-4=0.∴cosB= ，或cosB=- （舍去）.

又∵∠B为锐角，∴∠B=60⁰.

（2）点A作AH⊥BC，垂足为H. S△_ABC= BC·AH= BC·AB·sin60⁰= ，解得AB=6

在Rt△ABH中，BH=AB·cos60⁰=6× =3，AH=AB·sin60⁰=6× ，∴CH=BC-BH=4-3=1. 在Rt△ACH中，AC²+CH²=27+1=28.∴AC= （负值舍去）.∴AC= .连结AE，在圆内接四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180⁰，∴∠ADC=120⁰.又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=60⁰=∠EAC. 又∵∠AEC=∠B=60⁰，∴∠AEC=∠EAC，∴CE=AC= .

例6. 已知：如图，⊙O的半径为r，CE切⊙O于点C，且与弦AB的延长线交于点E，CD⊥AB于D.如果CE=2BE，且AC、BC的长是关于x的方程x²–3（r–2）x+ r²–4=0的两个实数根.求（1）AC、BC的长；（2）CD的长.

分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB∽△EAC，AC=2BC.又∵AC、BC是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC、BC的方程组求解.（2）∵CD是Rt△CDB的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C作直径CF，连结AF，则Rt△CDB∽Rt△CAF，据此可列式计算.