试题内容
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,∠ABC=90°,点E、F分别在线段BC、AD上,且EF∥CD,AB=AF,CD=DF.
(1)求证:CF⊥FB;
(2)求证:以AD为直径的圆与BC相切;
(3)若EF=2,∠DFE=120°,求△ADE的面积.
解法分析(1)
顶角互补→底角互余
设∠A=α,∠D=β,
1.根据平行线的性质可得:
α+β=180°,
2.在等腰三角形ABF和等腰三角形DCF中,
∠1=,∠2=,
所以∠1+∠2==90°,
所以∠BFC=180°-(∠1+∠2)=90°,即CF⊥FB.
解法分析(2)
方法1:作垂直,证半径
梯形中位线定理(需证明)
取AD的中点O,作OG⊥BC于点G,
1.证明AB∥OG∥CD,
2.根据平行线分线段成比例证明:点G是BC的中点,
3.按照“梯形中位线定理”的证明思路(点击查看),
可证:OG=,
所以:OG===OA,
即OG是圆O的半径,
进而证明:以AD为直径的圆与BC相切.
方法2:证垂直,证半径
直角三角形的性质
取AD的中点O,作OG∥AB,交BC于点G,连接AG、DG,FG,
1.证明AB∥OG∥CD,OG⊥BC,
2.根据平行线分线段成比例证明:点G是BC的中点,
3.在Rt△BFC中,FG=BG=CG,
4.因为CD=DF,FG=CG,
根据线段垂直平分线的判定得:
GD垂直平分CF,
同理可证:GA垂直平分BF,
进而证明:∠AGD=90°,
5.根据“90°的圆周角所对的弦是直径”得:
点G在以AD为直径的圆上,
即OG是圆O的半径,
进而证明:以AD为直径的圆与BC相切.
解法分析(3)
特殊三角形(如左图)
1.图中的特殊三角形:
△CDF是等边三角形,
△CEF是含30°的直角三角形,
△BEF是含30°的直角三角形.
2.在△CEF中,
CE=EF·tan60°=2,
在△BEF中,
BE=EF·tan30°=,
所以:BC=;
平行线间的等积变换(如右图)
因为:S=S,S=S,
所以:S=S
==.