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圆（二）及解直角三角形
直线与圆的位置关系 ［复习目标要求］ 7. 理解直线和圆的三种位置关系及其相关的概念，会用圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系，理解切线长的概念及切线长定理。 8. 掌握切线判定定理、性质定理及切线长定理，能熟练地运用它们进行有关的证明和计算。
［重点难点突破］ 重点是直线与圆相切的性质和判定及切线长定理，其中切线的性质和判定要注意恰当地选择作辅助线的方法，切线长定理要重视基本图形和基本结论。 难点是切线的性质和判定的灵活运用及切线性质定理的两个推论应用的严密性。
［中考动向分析］ 9. 以填空或选择题考查直线和圆的位置关系的判定包括切线的性质和判定定理的正确理解； 10. 以圆的综合题考查切线的判定及相关的几何计算或证明； 11. 围绕直线与圆的位置关系及相似三角形相关知识编写理解题； 12. 与代数、几何知识相结合，特别是与函数组合的压轴题，常见题型多为存在性的探索问题。
［知识要点及解题方法指导］ 直线与圆的位置关系 切线的判定： 1. 如果一条直线与圆有惟一公共点，则这条直线是圆的切线。 2. 如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线。 3. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 例13. 已知：如图1，AB为圆O直径，C是AB延长线上一点，CD切圆O于D，DE⊥AB于E。求证：∠CDB＝∠EDB。
图1 思路及解题过程：由AB为圆O直径，想到直径上圆周角为直角，故连结AD、BD，则∠ADB＝90° 由DC为切线，想到弦切角，那么∠CDB＝∠A 由DE⊥AB，想到△ADE与△BDE相似，得到∠BDE＝∠A， 由此得证∠CDB＝∠BDE。
切线的性质 1. 圆的切线垂直于经过切点的半径。 2. 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 例14. 如图2：PA，PB分别切圆O于A、B，C是
图2 思路及解题过程：∠ACB为圆周角，∠P为圆外角，若找到两角的关系，需借助一中间角，能将圆外角与圆周角相联系的角，即弦切角。 连结AB，由切线长定理可知PA＝PB，由∠P＝48°，可知∠PAB＝66°，由弦切角定理可证∠PAB＝∠C，由此得证∠ACB＝66°
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 例15. 已知：如图3，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AD切圆O于E，求证BC为圆O的切线。
图3 思路及解题过程：因为不知BC与圆O是否存在交点，故而连结EO并延长交BC于F，证明OF为圆的半径，再证OF⊥BC，由切线的性质证明EF⊥AD，由平行四边形ABCD证明EF⊥BC，再由△AEO与△CFO全等证明OE＝OF
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。 例16. 四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，MN与⊙O切于点A，∠MAB＝35°，求∠B的度数。
图4 思路及解题过程：本题∠MAB与∠B没有直接联系，故架构思维通路，由弦切角定理想到连结AC，则∠MAB＝∠ACB。 由Rt△ABC得到∠ABC＋∠ACB＝90°，易得∠B＝55°。
和圆有关的比例线段 ［复习目标要求］ 9. 结合图形正确理解相交弦定理、切割线定理及它们的推论 10. 能熟练地运用相交弦定理、切割线定理进行有关的计算、证明及比例中项的作图。
［重点难点突破］ 重点是相交弦定理、切割线定理及它们的推论，能熟练地运用于相关的计算及证明。 难点是乘积式结构的正确理解，复习时要注意图形的完整。避免错误。
［中考动向分析］ 13. 以选择题的形式，结合图形考查对圆幂定理的正确理解与灵活运用； 14. 以填空题考查与弦有关的计算，特别是半径的计算； 15. 与圆的其它知识如切线的判定及比例线段（相似）组合为圆的综合题，常见的有分步证明问题，计算、证明组合问题，及某些开放性探索问题； 16. 压轴题中与函数、三角、方程、相似等知识组合。
［知识要点及解题方法指导］ 和圆有关的比例线段 相交弦定理及推论 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 例17. 已知：A为⊙O上任意一点，⊙A与⊙O相交于B，C，⊙A的直径DE交弦BC于F，延长DE交⊙O于G。 求证：AD2＝AF·AG 解题思路及过程：两圆相交公共弦可架起桥梁，在两圆中运用公共弦定理可证出：AF·FG＝DF·EF，再由图形得出：
图5 FG＝AG－AF DF＝AD＋AF EF＝AE－AF ＝AD－AF 由以上式子推出 AF（AG－AF） ＝（AD＋AF）（AD－AF） ＝AD2－AF2 ∴AD2＝AF·AG
切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项。 例18. 已知：如图6，弦AB、CD相交于E，PE∥BC，交AD延长线于P，PM切圆O于M，求证：PE＝PM。
图6 思路：由条件可知： PM2＝PD·PA 若证PM＝PE， 须证PE2＝PD·PA 须证△PED∽△PEA 证明：由BC∥PE 由PM切圆O于M ∴PE＝PM
割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 例19. 已知：如图7，BC为圆O的直径，AC切圆O于C，AB交圆O于D，且AC＝10，AD：AB＝2：5，求BC的长。
图7 解题思路及过程：∵BC为圆O直径，AC切圆O于C， ∴AC⊥BC， ∵AD：AB＝2：5 ∴设AD＝2x，AB＝5x 又∵AC2＝AD·AB ∴100＝2x·5x ∴AB ∴BC
圆与圆的位置关系 ［复习目标要求］ 11. 了解两圆的五种位置关系的概念，会根据两圆的半径与圆心距的大小关系判定两圆的位置关系，理解两圆的位置关系与公切线数量之间的规律； 12. 掌握相切及相交两圆的性质及作辅助线的规律，掌握两圆的内、外公切线长的计算。
［重点难点突破］ 重点是两圆相交、相切的性质和判定，两圆公切线长的计算； 难点是两圆相交的判定、公切线长的计算和相切两圆的计算和相切两圆的性质在解题中的应用，解题时要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，如人教版初三《几何》P129页例4就是一个重要的基本图形，对许多相关问题的解答都有极大的帮助，此外两圆问题本来图形就较复杂，要重视作辅助线的基本规律的直接运用，切不可盲目滥添辅助线。
［中考动向分析］ 17. 以选择题、填空题的形式，考查两圆的位置关系的判定，公切线长及圆心距的计算及与圆有关的角的计算，要特别注意两圆相交、相切时答案的完整性，不能漏解； 18. 以圆的综合题形式考查本节知识与圆的其它知识及直线型的知识的综合运用，常设计为分步问题； 19. 以压轴题形式考查代数、几何（三角）的综合能力。
［知识要点及解题方法指导］ 圆和圆的位置关系 圆与圆位置关系的判定 设两圆的半径分别为R和r（R>r），则： 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 （同心圆 例20. 已知：如图8，两圆内切于P。大圆的弦AB切小圆于C，求证：∠APC＝∠BPC。
图8 解题思路及过程：欲证∠APC＝∠BPC，不能直接得到，要通过等角转化，由两圆相切，想到作公切线，出现公共的弦切角。 证明：过P点作外公切线MN，连结CE，则 ∠MPE＝∠PCE＝∠PBA 又∵AB切小圆于C， ∴∠BCP＝∠CEP ∴△CEP∽△BCP ∴∠APC＝∠BPC
例21. 已知：如图9，圆O与圆O'相交于A、B，AC为圆O的直径，CA，CB的延长线交圆O'于D，E，且CE＝10，DE＝AC＝6，求圆O'的半径。
图9 解题思路及过程：两圆相交，作公共弦，可建立两圆的圆周角之间的关系。 解：连结AB、AE， 由AC为圆O直径 由ABED为圆内接四边形 又由∠C＝∠C ∴圆O'的半径为
两圆相交、相切的性质 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 例22. 已知：⊙O1与⊙O2外切于P，外公切线AB交O1O2的延长线于E，PC⊥O1O2交AB于C，若两圆半径之比为4：1，CE＝3cm，求O2E的长。
图10 解题思路及过程：设O2B＝x，则O1A＝4x， ∴
解直角三角形 ［复习目标要求］ 1. 复习直角三角形的边角关系 2. 灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 3. 会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题；完成简单的实习作业。 4. 进一步提高数形结合，分析问题以及解决实际问题的能力和应用数学知识的意识；树立理论来源于实践又应用于实践的辨证唯物主义观点。
［重点、难点突破］ 重点是准确作辅助线选择适当关系解直角三角形，把实际问题转化成数学问题。 难点是解法和实际应用 牢记解直角三角形的条件和直角三角形三边间、边角间关系及其变形；审题时明确已知元素、未知元素及其因果关系。
【典型例题】 例1. （重庆2003）如图1在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若
图1 A. 点拨：要想充分利用 解：过D作DE⊥AB于E， ∵ 设DE＝k，EB＝5k，k>0 又∵AC＝BC，∠C＝90° ∴∠A＝45°，∴AE＝DE＝k 而AE＋EB＝AB＝ ∵ ∴选B
例2. （甘肃2001）如图2，为测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河的宽度。
图2 解：过A作AD⊥BC于D，设AD＝x米 ∵BC＝BD＋DC ＝ADcotB＋ADcotC＝AD（cotB＋cotC） ∴ ∴ 答：这段河宽约126.8米。
例3. （天津2002）某片绿地地形如图3，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长。
图3 解：分别延长AD、BC交于点E 在Rt△ABE中，由AB＝200m，∠A＝60° 得BE＝AB·tanA＝ 在Rt△CDE中，由CD＝100m，∠CED＝90°－∠A＝30° 得：CE＝2CD＝200m DE＝ ∴AD＝AE－DE＝ 答：AD长
例4. （重庆2002）如图4，A、B是两幢地平高度相等，隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A的周围无开阔地带，为测B的高度只能充分利用A楼空间，A的各层楼都可到达且看见B，现仅有皮尺、测角器
图4 （1）请设计一个测量B楼高度的方法：要求写出测量步骤和必须的测量数据（用字母表示），并画出测量图形。
（2）用你测量的数据（用字母表示），写出计算B楼高度的表达式。 解：（1）设AC表示A楼，BD表示B楼，测量步骤为：①用测角器在A楼顶端A测到B楼底端的俯角 （2）在Rt△ACD中 在 ∴ 点拨：本题是一个全开放性试题，要求学生在给定情景下，综合运用所学知识把实际问题转化为解直角三角形，并且自己设计测量方案方法，定出已知量，再给出解决问题的方法、步骤，是近年中考的一个趋向。
【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一、选择题： 1. 如图1，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于（ ）
图1 A. 55° B. 90° C. 110° D. 120° 2. 如图2，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC＝3，PB＝1，则⊙O的半径等于（ ）
图2 A. C. 4 D. 3. 如图3，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝6，PB＝4，则⊙O的半径为（ ）
图3 A. 4. 已知两圆半径3，7，圆心距5，则这两圆的公切线的条数是（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 如果两圆有且只有三条公切线，那么这两圆的位置关系（ ） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6. 半径分别为1cm、5cm的两圆相交，则圆心距d的取值范围是（ ） A. C.
二、填空题 7. 某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高___________m。 8. 如图4，人字形屋顶为等腰三角形，跨度AB＝14米，中柱为CD，则上弦AC长为___________米（用∠A的三角函数表示）
图4 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3， 10. 如图5，⊙O的两条弦AB、CD交于点P，PD＝2PB，PC＝2cm，则PA＝___________cm。
图5 11. 已知：如图6，AB是⊙O的直径，BD＝OB，∠CAB＝30°，请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO＝BO＝BD外）。
图6 ①___________ ②___________ ③___________
三、解答题： 12. 某型号飞机机翼如图所示，其中AB∥CD，根据图7中数据计算AC、BD和CD长度（结果保留根号）。
图7 13. 已知：如图8，在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD
图8 14. 如图9，已知过⊙O1与⊙O外一点P作两圆的外公切线，分别切⊙O，⊙O1于点A、B两点，AB与连心线OO1的夹角∠P＝30°，若OO1＝2，求两圆半径及外公切线的长。
图9
【试题答案】 一、选择题： 1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. B
二、填空题： 7. 6 8. 9. 4 10. 4 11. ∠ACB＝90° AB＝2BC
三、解答题 12. 解：由图中数据知 在Rt△ACE中， 在Rt△BDF中， 又 答： 13. 证明：过EF的中点O作BC的垂线交BC于G， ∵E、F是△ABC中AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线 ∴ ∵AD⊥BC于D，OG⊥BC于G ∴ ∴以EF为直径的圆与BC相切。 14. 解：连结OA、O1B，并作O1C⊥OA于C，则四边形ACO1B为矩形， ∴O1C＝AB，O1B＝AC，∠CO1O＝∠P＝30° 在Rt△OO1C中，∵OO1＝2，∠CO1O＝30° ∴ 设⊙O与⊙O1半径分别为R、r，则有： ∴⊙O、⊙O1半径分别为1.5，0.5，外公切线长为
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B. 2 C. 1 D. 
B. 3
B. 
B. 
D. 
