给你喜爱的轴对称作品投票! 01 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 如图,AB是圆O的一条弦,CD是直径,如果CD⊥AB于点M,则AM=BM,AC=CB;如果AM=BM,则CD⊥AB,AC=CB。 02 圆周角与圆心角关系 同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图①②③,下面仅证明图③一种情况。 已知:如图,∠BAC是弧BC所对的圆周角,∠BOC是弧BC所对的圆心角 求证:∠BAC=1/2∠BOC 证明:连接O、A与B、C,则△OAC为等腰三角形 则∠COA=180°-2∠OAC =180°-2(∠BAC+∠BAO) 又因为均为等腰三角形 所以∠BOA+2∠BAO=180° 即(∠BOC+∠COA)+2∠BAO=180° 即[∠BOC+180°-2(∠BAC+∠BAO)]+2∠BAO=180° 化简得∠BAC=1/2∠BOC 03 五等关系 同圆或等圆中,如果两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距这五个量中只要有一组量相等,那么它们所对的其余各组量也分别相等。 04 直径(或半圆) 所对的圆周角是直角 直径(或半圆)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 05 相交弦定理 如图,圆O的两条弦AB、CD相交与点E,则AE·EB=CE·ED 06 切线垂直于 过切点的半径 圆的切线垂直于过其切点的半径;经过半径的非圆心一端,并且垂直于这条半径的直线,就是这个圆的一条切线。 07 弦切角定理 切线与弦所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角。 如图,AB切O于点A,AC是O的一条弦,D为圆上一点,则∠BAC=∠ADC 证明:连接OA、OC,则OA⊥AB,即∠BAC+∠OAC=90° 又因为在等腰△OAC中, ∠OAC=1/2(180°-∠AOC) =90°-1/2∠AOC 所以∠BAC+90°-1/2∠AOC=90° 即∠BAC=1/2∠AOC 所以∠BAC=∠ADC 08 切割线定理 如图,AB切O于点B,过A点的割线分别交O于点C、D,则AB²=AC·AD 证明:连接BC、BD,由弦切角定理可知∠ABC=∠BDA 又因为 ∠A=∠A 所以△ABC∽△ADB 所以AB/AD=AC/AB 即AB²=AC·AD 09 同一点做圆的两条切线 长度相等 如图,AB、AC均是O的切线,则AB=AC 10 平行线所夹得弧相等 如图,AB∥CD,则AC=BD 11 四点共圆 共斜边的两直角三角形共圆,如图①② 对角互补的四边形四个顶点共圆。 12 两圆连心线 垂直平分公共弦 如图,O1和O2的公共弦为AB,O1、O2交AB于点M,则O1O2⊥AB,AM=BM。 |
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