|
A.思维模型综述 圆是初中数学知识的大综合,不论是代数还是几何,所有的知识几乎都能在圆中体现.新课标以来圆的部分内容在中考中的地位有所下降,题目难度有所降低,但是圆的命题还是中考的热点考题,在不少地区难度依然很大. 只要掌握以下七个思维模型,圆的问题就有规律可找了. (1)遇到有关弦的问题时,通常要作出垂直于弦的半径,利用垂径定理求有关的量;还常常连接弦的两个端点和圆心,构造等腰三角形. (2)遇到直径时,常常添加直径所对的圆周角,得到直角三角形. (3)遇到90°的圆周角时,常连接圆周角的两边与圆的交点,得到直径. (4)遇到切线时,添加过切点的半径,得到垂直,即一切就垂. (5)遇到要证明切线时,若有交点,则连半径,证垂直;若无交点,则作垂直,证半径. (6)遇到三角形的内切圆时,连接内心与三角形各顶点,利用内心的性质. (7)遇到三角形的外接圆时,连接外心和三角形各顶点,利用外心的性质.  B．最新考题精析 1．（2019·中原区校级模拟）已知圆O的半径为5，P为圆O内一点，且OP＝3，则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ） A．4条B．3条C．2条D．1条 【解析】先求出过P点的弦长的取值范围，然后判断出弦长为整数的弦有几条．如图，过P作弦AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA，  Rt△OAP中，OP＝3，OA＝5，根据勾股定理，得AP＝4，即由垂径定理得：AB＝2AP＝8，故过点P的弦的长度都在8～10之间，因此弦长为8、9、10，当弦长为8、10时，过P点的弦分别为弦AB和过P点的直径，分别有一条；当弦长为9时，根据圆的对称性知，符合条件的弦应该有两条；故弦长为整数的弦共有4条，故选：A． 2．（2019·定安县一模）如图，⊙A过点O（0，0），C（2√3，0），D（0，2），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ） A．15°B．30°C．45°D．60°  【解析】连接DC，在Rt△DOC中，tan∠OCD＝OD/OC=2/2√3=√3/3， 则∠OCD＝30°，由圆周角定理得，∠OBD＝∠OCD＝30°，故选：B． 3．（2018秋·滨湖区期末）若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为（ ） A．65°B．25°C．65°或 25°D．65°或 30° 【解析】画出相应图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．（1）圆心O在△ABC外部，在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD． ∴∠BDC＝1/2∠BOC＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°； ∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°； （2）圆心O在△ABC内部．∠BAC＝1/2∠BOC＝50°， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°． 综上所述，△ABC底角的度数为65°或 25°，故选：C．   4．（2019·鄞州区一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是（ ） A．∠E＝∠CFEB．∠E＝∠ECFC．∠ECF＝∠EFCD．∠ECF＝60°  【解析】连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B， ∵DE⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B+∠DFB＝90°， ∵∠EFC＝∠BFD，∴∠B+∠EFC＝90°， ∵∠ECF＝∠EFC，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴CE是⊙O的切线．故选：B． 5．（2019·宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，G是弧AC上的任意一点，AG，DC的延长线相交于点F． （1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径； （2）求证：∠FGC＝∠AGD； （3）若直径AB＝10，tan∠BAC＝1/2，弧AG＝弧BG，求DG的长．  【解答】（1）解：连接OC．如图1所示： 设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE＝EC＝4， 在Rt△OEC中，∵OC²＝OE²+EC²， ∴R²＝（R﹣2）²+4²，解得：R＝5，即⊙O的半径为5； （2）证明：连接AD，如图2所示： ∵弦CD⊥AB,∴弧AD=弧AC，∴∠ADC＝∠AGD， ∵四边形ADCG是圆内接四边形， ∴∠ADC＝∠FGC，∴∠FGC＝∠AGD； （3）解：如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．   6．（2019·贵阳模拟）如图①，将一块含30°角的三角板和一个量角器拼在一起，如图②是拼接示意图，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合且∠CAB＝30°，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E． （1）当旋转7.5秒时，连结BE，E点处量角器上的读数为_____ 度； （2）在（1）的条件下求证BE＝CE； （3）设旋转x秒后，E点处量角器上的读数为y度，写出y与x的函数表达式．  【解答】由于∠ACB＝90°，AB为斜边，所以此量角器所在圆是以AB中点O为圆心，AB为直径的圆．连接OE、BE，∠ACE＝7.5×2＝15°，  ∵∠ACE和∠ABE都是弧AE所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE＝15°． ∵OE＝OB，∴∠AOE＝2∠ABE＝30°，即E点处量角器上的度数为30度． 故答案为30； （2）∠ECB＝90°﹣15°＝75°，∠EBC＝90°﹣30°+15°＝75°， ∴∠ECB＝∠EBC．∴BE＝CE； （3）当旋转x秒后，∠ACE＝2x°，根据圆周角性质可知∠ABE＝∠ACE＝2x°， ∵OB＝OE，∴∠AOE＝2∠ABE＝4x°．即y＝4x． 7．（2019·河南模拟）如图，在△ABC中，AB＝8，∠CBA＝30°，以AB为直径作半圆O，半圆O恰好经过点C，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F． （1）求证：CE＝CF （2）填空：①若DF与半圆O相交于点P，则当点D与点O重合时，弧BF的长为____ ②在点D的运动过程中，当EF与半圆O相切时，EF的长为 ． 【解答】（1）连接CD，如图1所示， ∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD，∴∠E＝∠CDE， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°， ∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF； （2）①∵点E与点D关于AC对称，∴DE⊥AC， ∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∴DF⊥BC，∴∠FDB＝60°， ②连接OC，CD，∵∠CBA＝30°，∴∠AOC＝60°， ∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形， ∵EF与半圆O相切，∴∠ACE＝∠B＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°， ∴∠OCD＝30°，∴CD＝sin60°·AC＝2√3， ∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD＝4√3．故答案为：4√3． C.深入归纳总结（歌诀） 圆的证明不算难，常把半径直径连； 有弦可作弦心距，它定垂直平分弦； 直径是圆最大弦，直圆周角立上边， 它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边； 还有与圆有关角，勿忘相互有关联， 圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。 同弧圆周角相等，证题用它最多见， 圆中若有弦切角，夹弧找到就好办； 圆有内接四边形，对角互补记心间， 外角等于内对角，四边形定内接圆； 直角相对或共弦，试试加个辅助圆； 若是证题打转转，四点共圆可解难； 要想证明圆切线，垂直半径过外端， 直线与圆有共点，证垂直来半径连， 直线与圆未给点，需证半径作垂线； 四边形有内切圆，对边和等是条件； D．最新考题精炼 需要详细答案的word版本，可留下信箱，抽时间可发送与你，期待你的关注，留言互动。 |
|
|
