2023四川雅安23(3)已知AB是圆O的直径,点P是圆O上一动点,AB=8,求PA+PB的最大值. 解法分析1面积法+完全平方式
作PC⊥AB于点C. ∵AB是圆O的直径, ∴∠P=90°, ∴PA+PB=AB=64. ∵S=PA×PB=AB×PC, ∴2PA×PB=2AB×PC=16PC, ∴(PA+PB) =PA+PB+2PA×PB =16PC+64. ∴“求PA+PB的最大值”可转化为“求(PA+PB)的最大值”. 线圆最值
当点P位于弧AB的中点位置时,PC取得最大值4, ∴(PA+PB)=128, ∴PA+PB的最大值为8. 解法分析2化曲为直
将线段PA绕点P顺时针旋转90°,得到线段PA', 易证:点B、P、A'三点共线, ∴“求PA+PB的最大值”可转化为“求BA'的最大值”. 隐圆-定弦定角
以AB为斜边,向上作等腰直角三角形,直角顶点为M, 则:AM=4. 连接AA',由旋转的性质得: △APA'是等腰直角三角形, ∴∠AA'P=45°,(定角) 又∵AB=8,(定弦) ∴点A'在以点M为圆心,4为半径的圆上运动. 点圆最值
延长BM交圆M于点A',此时BA'取得最大值8, ∴PA+PB的最大值为8. Even if the road is not flat also should make oneself of the sun.就算路不坦荡,也要做自己的太阳。
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