神奇的费马点

我们都知道，到三角形三个顶点距离相等的点是其外接圆的圆心——外心，外心可以在三角形内部或外部，还可以在边上。有一个点到三角形三个顶点的距离有特殊关系，它叫做“费马点”。它有什么样的特征和性质呢，下面我们先从一个点到顶点的距离最值开始说起。

一、三角形内任意一点到两个顶点的距离之和小于三角形另外两边之和

本题选自人教版2013八年级上册第29页第9题，是一道几何不等式的填空题，要确定边之间的不等关系。我根据题意把它改编成一道文字证明题：“三角形内任意一点到两个顶点的距离之和小于三角形另外两边之和”。

已知：如图O为△ABC内的任一点，

求证：AB+AC>OB+OC.

证明：延长BO，交AC于点D，

在△ABD中，AB+AD>OB+OD，

在△OCD中，OD+DC>OC，

两边相加得AB+AD+ OD+DC >OB+OD+ OC，

∴AB+AC>OB+OC.

点评：本题的几何不等式是关于边的，因此我们很快联想到用“三角边的三边关系”来证明。

二、三角形内任意一点到三个顶点的距离之和小于周长而大于周长的一半

已知：如图，O为△ABC内的任一点，

求证：（AB+BC+CA）/2＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

证明：∵三角形中任意两边之和大于第三边，

∴OA+OB＞AB，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC，

∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，

即（AB+BC+CA）/2＜OA+OB+OC；

∵三角形中任意两边之差小于第三边，

∴CA-CO＞AO，BC-BO＞CO，AB-AO＞BO，

两边相加得，CA+AB+BC-（AO+BO+CO）＞AO+BO+CO，

即AC+AB+BC＞2（AO+BO+CO），

∴AC+AB+BC＞AO+BO+CO，

∴（AB+BC+CA）/2＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

点评：本题的几何不等式是两边夹的形式，“三角边的三边关系”里既有两边之和大于第三边，也有两边之和小于第三边，刚好提供了两边夹形式。

三、那三角形内又是否存在一点，使得该点到三个顶点的距离之和最小？

答案是：存在，这个点叫做该三角形的费马点。

已知：如图，△ABC中，∠A＜120°，∠B＜120°，∠C＜120°，P是三角形内一点，求PA+PB+PC的最小值。

解题思路：如下图在同侧作两个等边三角形，一个等边△BPF，另一个等边△ABE。由于PB=PF，易证△BPA≌△BFE，有PA=FE，所以，PA+PB+PC=FE+PF+PC。显然，当E、F、P、C四点共线时，FE+PF+PC取得最小值CE，也就是AB边对的两个顶点C和E所连的线短。

特别指出，用三角形任意一条边向外作等边三角形都是可以的。若以△ABC的三边为边，分别向外作等边三角形BCF、ACD、ABE，连接AF、BD、CE，则有以下四个结论：

（1）AF=BD=CE。因为△ACF≌△DCB，所以AF=DB，同理可证BD=CE；

（2）AF、BD、CE交于一点P，且∠APB=∠APC=∠BPC=120°，即费马点P对边的张角均为120°；

（3）P到A、B、C三顶点距离的和最小，且PA+PB+PC=AF=BD=CE；

（4）PE平分∠APB，PF平分∠BPC，PD平分∠CPA.

其中点P就是△ABC的费马点，也叫托里拆利点。

【费马点的位置】

当△ABC最大内角小于120°时，P在△ABC内部，且满足∠APB=∠APC=∠BPC=120°；

当△ABC有一内角不小于120°时，P点与最大角的顶点重合；

当△ABC为等边三角形时，此时内心与费马点重合。

四、三角形费马点的应用

本题是人教版2013八年级上册第83页第12题的变式。

例.如图1，已知等边△ABC和等边△ADE共用顶点A，连接BD、CE交于点O．

（1）求证：BD=CE

（2）直接写出∠BOE＝______．

（3）连AO，求证：AO平分∠BOE．

（4）分别取BD、CE的中点M、N，求证：△AMN为等边三角形．

第一问思路：根据条件易证△BAD≌△CAE，得BD=CE。

第二问思路：由费马点的作法可知，图1中O为△ADC的费马点，根据结论（2），BD和CE的夹角∠BOE＝120°。

第三问思路：如图2，在EC上截取EI＝DO，连接AI，证△ADO≌△AEI，得△AOI是等边三角形，所以∠AOB＝∠AOE＝60°。如果作为选填题的话，直接根据结论（2）和（4）就可以得出AO平分∠BOE。

第四问并不难，大家可以自己试着证明一下。

五、结语

通过对上述例题的观察我们会发现，当共顶点的两个等边三角形没有面积重叠时，就是费马点基本图形。

如图1，连接CD构造出△ACD之后，我们就会发现点O就是△ACD的费马点。很多同学都只把目光聚焦在两个等边三角形这个特殊的条件上，可一旦我们跳出思维定式，就可以看到隐藏在图形之中的△ACD，很多问题就能迎刃而解了。

实际上三角形内一点到三个顶点距离之和最小的问题是由法国职业律师皮埃尔·德·费马向意大利科学家托里拆利（就是用汞柱测出标准大气压那个）提出的，但由后者给出解决方案并成功找到费马点（也叫托里拆利点，三个等边三角形的外接圆称为托里拆利圆）。但你可别以为费马只是一名职业律师，他作为业余数学家给世人们留下了最著名的数论瑰宝就是大名鼎鼎的“费马大定理”。是不是很有趣呢？小斌老师相信每一位热爱数学的同学经过自己不懈的努力，以后也可以在数学领域有所建树。

大家在通过本公众号学习的过程中发现有任何问题，或者有其他更好的解法或想法均可以私信或电邮小斌老师[e-mail]，感谢大家的参与。