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ECNU202301 计算极限. 直接平方运算量过大,尝试拆分后分别计算再相减. 解 计算可知 ECNU202302 计算积分. 看到和想到三角换元,再利用. 解 计算可知 ECNU202303 计算级数. 拆开分别计算再代入. 解 我们分别计算和.计算可知两幂级数收敛域均为.故 再求导就得到了,故故ECNU202304 设是由围成的积分区域,且是上的连续函数,求二重积分 猜测会因为对称性而在上积分为. 解 记为的部分,记为的部分,则 这是由于对称性的缘故,故 ECNU202305 设立体区域是由面曲线绕轴旋转一周所形成的曲面和平面所围成的点处的密度为,求重心坐标. 先写旋转曲面的方程,再用重心坐标的计算公式. 解 由题意可知所围区域为 设的重心坐标为,先由对称得到,而故,故的重心坐标为.ECNU202306 设,且 讨论的可微性. 猜测时连续且可微. 证明 注意到,故在处连续.断言对任意处都不连续,取有理数列和无理数列,它们的极限都是,这时有 断言成立,再考虑在处的可微性,有故只在处可微.ECNU202307 证明含参变量积分 在上一致收敛,并问其在上是否一致收敛. 前一问比较判别法,后一问利用Cauchy准则反证. 证明 利用,以及Possion积分 得到原含参积分在上一致收敛.对任意的,取都有 故原含参积分在上不一致收敛.ECNU202308 设在上可导,且满足,证明:存在,使得. 导函数介值定理,但要说明不能是或. 证明 设,则 由于故存在,使得当时,有,故不是在上的最小值点,同理可得不是在上的最小值点.又由于,设是一个最小值点,则,从而是极小值点,故,即.ECNU202309 给出函数的最小正周期并给予证明. 找规律. 解 注意到 故的最小正周期为. ECNU202310 设,若,则数列收敛. 利用序列与级数具有相同的敛散性进行阶的估计. 联想到收敛. 证明 设数列通项为,则我们来说明级数 是收敛的.这里当时有如下阶的估计由比较判别法的极限形式可知上述级数收敛,故数列也是收敛的.ECNU202311 设一元函数在上可导,且存在两个正数满足,证明: 在上一致连续,但在上不一致连续. 前一问用三角不等式放缩,后一问利用立方和公式举反例. 证明 记,对任意的,利用Lagrange中值定理得 此时对任意的,取,只要,就有,故在上一致连续.再记,取上的序列 有,但由Lagrange中值定理,存在,使得即,故在上不一致连续. ECNU202312 若数列满足,证明: (a)存在正整数,使得. (b)数列存在极限,并求其极限值. (c)若,则两两不等. (d)满足题设且的数列存在. 如果极限存在,则求出极限为. 对函数蛛网工作法(折线图法).
由于出现,尝试把置于分母位置推测通项公式. 解 (a)若存在正整数,使得,则可推出恒为.下考虑对任意的都有,则 进而,解得,此时存在正整数,使得.(b)只考虑对任意的都有,有 (c)注意到是正整数上的单增序列,故两两不等. (d)取,代入(a)得到. |
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