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一位刚读初一的学生请教我两道数学题，虽然我没做过数学教师，并且离开教学一线多年，但对孩子的请教，仍本能地给予帮助。仔细研读以后，发现这两道题蕴含着丰富的逻辑思想。 第一道题是填空题。如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B 点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点。如果依次类推，这样至少移动 次后该点到原点的距离不小于20.
虽然仅是一道填空题，但要发现规律，得出准确答案，对于一个刚读初一的学生来讲，并没有那么容易。我让孩子在稿纸上将已给的4次情况排写出来，根据数、形直觉，归纳前4次移动，引导他们归纳总结出这样的规律：移动方向上，右、左依次轮流；从第2次开始，每次移动的单位长度，都是次数减去1后再乘以3，即3×（次数－1）；每次移动后与原点的距离，正好等于本次移动的长度减去上一次与原点的距离（依据上述所排，很容易觉察）；除动点A本身外，移动后相邻的落脚点之间在数轴上的距离都是3（这一点借助数轴图形，也容易认识）。 那么根据上述总结出的规律，引导孩子依次向下类推演绎，很显然，经过同一规律的第14次移动，动点A距原点为20，开始“不小于20”，所以填空答案应为“至少移动14次”。 虽然上述穷举寻解是比较繁琐的“笨办法”，但对一个刚读初一的学生来讲，不失为求解的“好办法”。在引导学生一步步书写、思考的过程中，可以非常明确的指出将所给的前4次情况列写出来，再根据直觉进行观察对比和归纳，得出动点A移动的规律。得出规律后，再明确指导学生用规律去类推、演绎以后的若干次，逐步逼近和找到所需的答案。 然而这种“穷举”只能解决少数次的求解，如果求解成千上万甚至无穷次，就无法穷举就得找出一个“通用模型”（函数关系式）！如果真的有初一学生对数学有兴趣，并且基础好、背景知识丰富，也可继续引导学生通过下列方法，尝试“建模”从而确立通用的函数关系式： 设移动次数为n，并引入变数k以区分奇、偶次，则奇次n=2k－1，偶次n=2k (k=1,2,3…)，那么： 奇次移动n次后与原点的距离应符合：An=3k－2 （n=2k－1） 偶次移动n次后与原点的距离应符合：An=3k－1 （n=2k） 如要求距离An不小于（等于）20，那么很容易得出n=14的答案。应该说，根据这个函数模型，无论n是多少次，An多么远，都能很方便找出答案。 虽然这仅是一道填空题，但答案不应是靠“蒙”得出来的，而是引导学生通过一系列的逻辑推理和运算得出来的。审题、解题过程中，应主动传输和启蒙学生的归纳、演绎等经典逻辑学知识与能力，还可引导学生了解穷举、建模、试错、逼近等科学发现与发明的逻辑方法。应该讲，确定n与k的函数关系、An与k的函数关系，是需要一定数学背景知识和尽可能多的可类比先例的，尤其是需要有一定的数学洞察力的。
第二道题是综合题。把几个不同的数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：｛1,2,3｝、｛-2,7,8,19｝，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素。如果一个集合满足：当数a是集合的元素时，数8－a也是这个集合的元素，这样的集合我们称为黄金集合，如：在｛2,6｝集合中，2是集合的元素，8－2＝6也是集合中的元素，则集合｛2,6｝是黄金集合。 （1）请判断集合｛1,2｝、｛1, 7｝是不是黄金集合。 （2）请写出满足条件的两个黄金集合的例子。 （3）若一个黄金集合中最大的一个元素为2016，则该集合是否存在最小的元素？请直接写出答案，否则说明理由。 其实刚入初一的学生，根本没有学习过什么叫“集合”，更没学过“黄金集合”，这完全是一个新概念。但题中已对“集合”和“黄金集合”作出了定义和解释。我们不必考究题中“集合”与“黄金集合”的概念是否正确，只要完全依据所给的定义和概念，利用已学过的背景知识进行分析答题即可。 显然，根据原题所给的概念就可以得答案，第（1）个小问题的答案：集合｛1,2｝不属“黄金集合”；集合｛1,7｝属“黄金集合”。第（2）个小问题举例的答案：｛2,10｝、｛4,12｝。第（3）个小问题的答案：有最小元素；最小元素为8－2016＝－2008. 这道综合题，是在学生还没学习过“集合”、“黄金集合”概念的背景下，先给出“集合”与“黄金集合”的定义和概念（或规定），然后要求学生认识概念，再根据所给概念进行判断、推理，完全符合概念、判断、推理的理性认识和思维升级的逻辑过程，也符合传统逻辑三段论的逻辑论证方法。
上述两道初一学生的数学题给了我们很多的深思和启示，促使我想到了逻辑推理能力的培养。几乎所有教育工作者和学生及学生家长，都认为学好数学很重要，但又都感到数学很难学很难教，一个非常重要的原因，是没有引导学生进入逻辑推理的轨道。 在整个科学的领域里，数学真的很重要。从哲学的角度讲，我们这个世界是复杂的，但这个世界又是可以被认识的。从自然科学的角度讲，不认识和没有把握客观世界运动变化的数学关系，就不能算完美地把握了其实质，就不能充分认识世界的系统性、矛盾性、统一性、和谐性、对称性。著名科学家海森堡曾将开普勒的一段话翻译成这样的表述：“数学是这个世界之美的原型”。在科学史上，许多科学家都在其研究的领域或课题成功引入数学，很多科学家运用众多的观测数据建立数学模型而推动自身问题的解析和数学的发展，更有因数学的发展和研究而导致一些学科（如量子力学）的诞生与发展。应该讲，人类观察世界，只有当引入一些能够与观测结果相关联的数学符号来理解各种现象时，与此相关的科学概念才能被准确地规定下来。
当然，要准确利用数学符号和函数关系来解释世界，就必须掌握丰富的数学知识、敏锐的数学洞察能力和运用数学进行严密的推理能力。这种数学的洞察能力和推理能力，就是数学思维，都属逻辑推理的范畴。这种逻辑推理能力，既是数学知识得以利用和发展的能力，又应随数学知识的增多而提升。因此，数学课程及教学，必须高度重视对学生进行洞察、推理等逻辑能力的培养。应该讲，数学是培养青少年逻辑推理能力的最重要的工具。如果我们真的让青少年学生在听课和习题的过程中，不断开发提升洞察、分析、抽象、演绎、归纳、类比、建模、试错、逼近等逻辑推理的思维能力，那么他们学数学的能力就会越来越强，就会感到数学并不难学，而且还会逐渐有著名数学大师陈省身教授所说的“数学很好玩”的感觉。
其实，逻辑推理能力属于思维能力的范畴，是包括数学在内的中小学各科教育教学都应特别重视的关键能力。学而不思则罔，思而不学则殆！现在很多教师和学生家长还没有真正认识到逻辑推理能力的重要性，更没有主动有目的加强对孩子这方面能力的开发和培养，谈到孩子学功课，就强调多读书多背书、多做习题；也仍有很多中小学校偏重增加数学等“重要学科”的课时和习题量，但颠来倒去浮在表面讲课和搞“题海战术”，勿视对教学内容和习题内涵的挖掘以及逻辑关系的揭示，不仅事倍功半，而且增加了学生的课业负担、教师的教学负担，还会占去学生思维时间，使不少学生“学而未思则罔”，越学越来累、越学越笨，最终是“读书破万卷，下笔如有鬼”。这类问题，必须切实加以纠正。在中办、国办印发的《关于深化教育体制机制改革的意见》中，将“逻辑推理”作为学生重要的认知能力，强调要作为“关键能力”来强化。开发培养这些“关键能力”，各学校、各学科、各教育工作者、各学生家长乃至全社会，都责无旁贷！
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