|
从具象到抽象 ——谈高一年级数学《充要条件》章节 刘向军 高一新生开学不到两周，有一个学生陷入了抑郁状态，根源之一是听不懂高一年级数学《充要条件》这一章节的内容了。 老师在课堂上讲概念的时候似乎也能听得懂，老师在讲题的时候似乎也能听得懂，但并不真的懂；问了老师两次还是不能完全明白，也和学生交流过，可还是不能完全明白：这个学生说着就哭了起来，显然他陷入了思维的障碍中，目前无法越过。 这是一个概念问题、知识问题也是一个解题技巧问题，但最根本的还是一个思维的层级跃迁问题，或者说是认知图式的建构问题。要解决这些问题，就需要在思维跃迁的每一个层面都要有清晰而深刻的认识并使之熟练。 首先要引导学生在具象的层面上建构概念。 如果你是全年级个子最高的学生，根据这个条件可以推导出你一定也是你们班级个子最高的学生。这个生活道理浅显易懂，但不要因为它的浅显易懂而就轻易地忽视了它对后续学习的重要性，因为一旦进入数学建模，其抽象性和复杂性就随之出现。 上面的生活情形如果把前者记作P后者记为Q，由P可以推导出Q，也就是说如果你是年级个子最高的学生，那你一定是你们班级个子最高的学生，我们就把它表达为P是Q的充分条件——全面的、彻底的、足够的逻辑关系。但从Q不能推出P，也就是说， Q只是P的必要条件——必定、必须、不可缺少的条件，但不是P的充分条件。 再换一个角度看生活中的具象。如果你前一段的体重是100斤，而现在变成了101斤，那么显然你的体重增加了一斤；如果再隔一段你体重减掉了1斤的话，那一定要恢复到原来的100斤。这当然更是生活中非常浅显易懂的现象，但是不要轻视它，它同样是理解抽象建模的钥匙。 对上面的生活情形，如果用P表示前者，用Q表示后者，那么就可以说由P可以推导出Q，由Q也可以推导出P，二者彼此是对方的既充分又必要的条件。 教学到这个层级时，学生对充分条件与必要条件的概念才有了初步的认识，在抽象的层面上对具象的生活有了初级建模，当然这对于高中数学的学习而言还不够。 数学上的两个抽象符号P和Q，它们可以越来越远离具象的生活而表达某种抽象的数学意义与关系，此时，在分析、推导二者之间的逻辑关系时就越来越复杂了。但是不管怎么复杂，如果学生对充要条件的基本概念与推导有清醒的、深刻的、熟练的掌握的话，也就是说能够在摆脱具象背景的层面上开始抽象的符号推演的话，后续复杂的充要条件的数学推演就主要只是一个技巧与熟练程度的问题。当然，在更加熟练的推演中，学生就能够建构新的更具抽象味道的认知图式与数学建模。 如果学生在这个层面上遇到学习困难的话，最大可能是因为对初级层面的概念的认识及其推导还不够熟练，还没有真正理解，也没有熟练记忆。也就是说，学生还没有能够把立足具象生活的数学建模变成自己新的认知起点——让基本的概念与其推演成为后续抽象计算的“具象存在”。 一个陷入困境的学生如何走出困境呢？有以下几个具体的方法。 第一，回到教材中，真正深刻理解概念并推演。 第二，和老师辩论，和同学辩论，在思维碰撞中来矫正和强化自己的思维。 第三，把自己理解的讲给同学，在讲述的过程中强化和优化自己的认知。 第四，向多个不同的老师请教，最简单的办法是用电脑或手机在半个小时内就可以收看10位不同风格老师的讲解，“转益多师是吾师”，不同的教师其表达和思维风格不同，其中某一个人的某一句话很可能就会让困境中的学生豁然开朗。 第五，积累典题、母题，反复温习、理解、内化，让它成为克服当下学习难点的利器。 第六，增加足够的训练量，通过定点刻意训练构建更高层级的认知图式，变陌生为熟悉，变艰深为浅易。 数学源于生活，因此，生活情境是理解和学习数学的基础与背景知识。数学又高于生活，因此，学生需要熟练地理解、掌握和运用概念与基本定理，让这成为数学学习新的“生活情境”。数学又反作用于生活，因此，在数学学习过程中要把抽象的概念、公式、定理还原到具象的生活情境中来展开。 就生活现象而言，“充要条件”问题是简单的逻辑关系，但是一旦进行数学建模，一旦在数学建模的基础上展开复杂的推演，这种逻辑关系就会被打扮得非常“狐媚”，如果在基础层级上理解含糊的话，那就会在复杂的推演中迷失了最初的路径。 2023.9.10 |
|
|
