现代结构数学的核心问题就是利用各种同构关系对研究对象进行分类，从而形成一种宏观有力的研究力度与广度。

   区别于基本孤立地研究问题的近代数学，现代结构数学的核心问题就是利用各种同构关系对研究对象进行分类，                     从而形成一种宏观有力的研究力度与广度。

对于拓扑学来说，最重要的当然就是拓扑分类的问题。无穷的图形，站在分类的角度，可能就只是归为少数的几类。

分类方法的不同，当然就构成了研究的不同侧重。在拓扑中，最基本的就是站在同胚角度的分类，所谓的同胚，可以简单地理解为，就是站在拓扑的角度上无差别，

而庞加莱猜想的严格数学表达就是：单连通的闭三维流型同胚于三维球面。

换言之，无穷复杂的单连通的闭三维流型，站在拓扑的角度，都是和一个简单的三维球面无差别的。即使你对数学不熟悉，也应该看出，这是一个多么强力宏大的结论。

任何一个对数学有一点了解的人都知道，庞加莱猜想就是也一直是拓扑学发展的中心问题。

有人用这几个方面来刻画一件事情的发展，认为很全面了。可以同构为以下一些认识。

广度：是对一件事情相关联的横向拓展描述；深度：是对事物自身的多个层次发展的纵向描述;速度：以更多的能量信息推动使其尽快达到一定目标；持久度，是指不断的对事物进行关注和保持一定强度（力度）的连续作用。力度：是投入的能量信息多少的描述。

在事物演化层次上理解，力度是个最基础的描述，人类最直接的认识是相互作用的大小；上一层次的思考，才会有广度和深度这借用三维立体空间的概念，即一个立体的长宽构成的面上的广度，另一个维度构成深度。

再上一个层次的思考是速度和持久度，即引入时间这一维度，速度是以时间为参照的变化率，

持久度则含有时间的延展，速度的变化的内容。

以上还可以加上其它更高级的一些特性描述，如随变度，稳定度（工程上称为鲁棒性）、精准度、效能度、扩展度，干扰影响度等两高级的一些指标。在社会科学中，各种发展起来的概念，不象数学的严谨，可以很容易的包含各种情况，可以简单的推导演化出各种情况。社会科学，在没有好用的形式数学进入前，需要人们不断的相互补充，各种观点相互印证，以体现社会科学这一高级形态的复杂性。作者相信，随着人类文明的发展，各种更深刻反映世界规律的数学工具被发现，完全可以将社会科学的一些现象，用数学方法进行描述。例如：

大部分的自然界复杂变化的现象，只能用非线性的微分方程描述，求解非线性微分方程，得到近似解及解的分布情况，人类最初用的是摄动方法；后来，

运用同伦方法发展了一些新的方法，同伦原来是不同体系之间连接变换的一种关系，被应用于求解非线性方程，

同时也发展了许多新的数学思想。不同体系之间的相互关联，内在规律的一致性，永远有让人想不到的惊喜。

后来，运用同伦方法发展了一些新的方法，同伦原来是不同体系之间连接变换的一种关系，被应用于求解非线性方程

同伦（homotopy）是一个数学术语，来源于拓扑学领域。在数学中，同伦是指通过连续变形将一个数学对象变换为另一个数学对象的过程。这种连续变形可以看作是一个平滑的变化，使得两个对象之间可以无间断地过渡。同伦可以应用于各种数学对象，如曲线、图形、函数、空间等。

在优化问题中，同伦方法（homotopy method）是一种解决困难问题的数值技术。它通过构建一个连续的函数路径，将原始问题与一个更容易求解的问题连接起来。通过逐步变化问题的参数或约束条件，从一个简单的问题逐渐过渡到原始问题，从而实现求解困难问题的目的。

在同伦方法中，通过控制同伦参数的变化，我们可以在每个步骤中找到一个相对容易求解的问题，

并利用前一步的解作为当前步骤的初始猜测，

逐步逼近原始问题的解

。同伦方法在优化问题、非线性方程求解、拓扑优化等领域具有广泛的应用。

假设我们要解决以下非线性方程的根问题： 

F(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0（ps:当然这个问题很容易直接求解）

我们可以应用同伦方法来逐步求解这个问题。

具体步骤如下：

1. 设定同伦函数： H(x, t) = tF(x) + (1 - t)G(x) 其中，t 是同伦参数，取值范围为 [0, 1]，F(x) 和 G(x) 是两个函数。

2. 选择辅助函数 G(x)： 选择一个函数 G(x)，它在给定区域内较容易求解。

3. 构造同伦路径： 通过逐步改变同伦参数 t 的值，我们构造一个函数路径，从一个简化的问题开始，逐渐过渡到原始的非线性方程问题。

4. 解决简化问题： 当 t = 0 时，我们得到一个相对简单的问题： H(x, 0) = G(x) = 0 我们可以使用常见的数值方法（如牛顿法、二分法等）求解该方程，得到一个近似的解 x0。

5. 逐步迭代： 对于每个 t 的值，我们使用前一个步骤的解 xk 作为初始猜测，求解同伦方程 H(x, t) = 0。这可以使用数值方法来实现，例如牛顿法。

6. 逼近原始问题： 随着 t 的逐步增加，我们逐渐逼近原始的非线性方程问题 F(x) = 0。当 t = 1 时，我们达到了原始问题的解。

通过同伦方法，我们将原始的非线性方程问题转化为一系列简化的问题，通过迭代逼近的方式，最终得到原始问题的解。同伦方法的优势在于它可以避免陷入局部极小值，同时找到一个与实际问题相关的局部解。