2009年江苏高考第9题C答案分析

下面这篇文章初稿写于2012年，试题和答案确实没错，所有资料对C答案都是囫囵吞枣不加分析直接给出结论，其实这题的C答案的分析比较难，那些资料的答案也不可能用短短的几句话就能讲清这个问题。在这里我分别用定性和定量的方法分析C答案。

问题：如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有                         （ BCD  ）

A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大

B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大

C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大

D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

参考答案解析：处理本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图像则可以使问题大大简化。对A、B在水平方向受力分析如图，F₁为弹簧的拉力；当加速度大小相同为a时，对Ａ有，对Ｂ有，得，在A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，A的速度一直比B大，两者距离增大，弹簧长度变长。在整个过程中Ａ的合力（加速度）一直减小而Ｂ的合力（加速度）一直增大，在达到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于Ｂ的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于Ｂ的合力（加速度）。

两物体运动的v-t图像如图，t_l时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大，选项B正确。

t_l时刻之后拉力依然做正功，系统机械能继续增加，即加速度相等时，系统机械能并非最大值，选项A错。

t₂时刻两物体的速度相等，Ａ速度达到最大值，选项C正确。

t₂时刻两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长，选项D正确。

   对以上试题的解答，B、D答案的解答过程都没有问题，唯独C答案，这个解答完全是没有分析直接下结论。曾经有两个基础较好的学生问过我：对A的速度图像，为什么不能是过了最大值之后再与B的图像相交呢？这个问题确实不那么简单。如果要定量分析A、B的运动情况，要用到大学物理的质心运动定律和解简谐运动的微分方程或直接引用简谐运动的运动学方程。如果要定性地分析这个问题，也至少要先写出A、B的动力学方程，再用有关简谐运动的知识作出分析。不管用哪种方法，这道题的C答案的分析都很难。最后对学生提到的这个问题的分析结论是：在题中A和B的质量相等，所以A、B的速度相等时A的速度恰好达到最大。如果A的质量小于B的质量，就正如学生所说的那样，A的速度过了最大值之后再与B的速度图像相交的。下面我先对这个问题作的定性的分析。

取向右方向为正方向，对A有动力学方程： 

对B有动力学方程：   （2）

让（1）式两边同除以m_A ，让（2）式两边同除以m_B ，再两式相减得：

（3）式子说明A相对B作简谐运动，最开始A相对B的速度为零，相对B的加速度为，根据简谐运动的对称性可知，当A、B的速度相等时，即A相对B的速度为零时，A相对B的加速度为，代入（3）式得：。再将（4）式代入（1）式得：。由（5）式可得以下结论：

（1）当A的质量大于或等于B的质量时，A、B速度再次相等时，A的加速度大于或等于零。而我们知道在A、B速度达到相等之前，A的加速度一直在减小，即A的加速度一直大于零。所以前面一段过程A的速度单调增大，所以A、B速度相等时，A的速度最大。

（2）当A的质量小于B的质量时，A、B速度再次相等时，A的加速度小于零。说明A、B速度达到相等之前，A的加速度就为零了，A的加速度为零时，A的速度最大，所以A、B速度相等时，A的速度不是最大。

下面再对这个问题作一个定量的分析。

由上面的（1）（2）式或者直接由质心运动定理得质心的加速度为：，A相对质心的动力学方程为:

B相对质心的动力学方程为：

由（6）（7）得：

由（6）（8）得：

解（9）（10）微分方程或直接引用简谐运动的速度方程得：

其中

由上面两个方程代入质心速度求出A B速度：

最后用Mathematica画出三种情况的A和B的速度图像分别如图1、2、3所示。从图像可以清楚地看到两个速度图像的零时刻后第一个交点前A速度的变化规律就是我上面总结的规律。