等腰三角形中一个有趣的性质

木一过 2023-09-18

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三点声明：

2. 本人对试题的研究，不会牵扯政治，也无意对一个地区的命题工作及教研生态构成影响．我只是从学术角度，就题论题表达我的一些想法．如有不妥之处，恳请谅解．与我直接联系也行；

3.出于教师之间交流，我的解答重在思路，不可能像考试时那样规范解答．

正文内容：

上篇文章中，我们提到等腰三角形中一个有趣的性质：

今天我们就聊聊与这个性质相关的话题．

1.结论的合理性．

事实上，假如知道等腰三角形的腰长与底边长，同时又知道底边上的一个定点D（如何刻画点D的位置呢？），显然，AD长必定可求．如何求呢？这个结论相当于告诉我们一个直接求解的公式．

2.证明这个结论

各人知识层次不同，证法也就不尽相同．但就我们教师而言，有一个共同的价值取向，那就是必须思考：当学生第一次遇到这个问题时，他们是如何思考的．我们又该如何启发他们思考．

比较自然的教法是，给出一个具体的问题，请学生思考求解．比如：

△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上一点，且BD=1，求AD的长．

对于这样的题目，多数学生还是能够想到求解方法的．

作AM⊥BC于点M，则BM=5，AM=12，DM=4，因此AD=4·根10．

具体数字的问题会了，一般情况下的证明，学生大体也会了．为了追求过程简洁优美，可以“双勾股作差计算”，再用“平方差公式”，就OK了．

如图，作AM⊥BC于点M，则BM=MC．

证明完毕．

当然对于知识面比较广的高手而言，偏要上升到“定差幂线”的高度，来理解这个结论的证明过程，当然更加有意思了．

3.尝试推广结论

学习数学，要善于提出问题．就学生而言，“提出问题”的方式通常有两种：⑴结论是否可以推广；⑵逆命题是否正确．

现在点D在边BC上，假如点D在BC或CB的延长线上，结论又将如何？

当点D在边BC上时，就是前面结论；

当点D在边BC两侧的延长线上时，结论为AD^2=AB·AC+BD·DC．

直觉上，这里改成“＋”也是可以理解的，因为AD>AB了．

证明与前面相同，非常简单．大家不妨在纸上推演一下．

4.写成AB^2如何？

就多数人而言，写成AB^2是自然的．但就知识面广的高手而言，写成AB·AC，往往基于更深更美的考虑．

如果写成AB^2，那么结论可以改写成：

当点D在BC边上时，BD·DC=AB^2-AD^2；

当点D在BC边两侧延长线上时，BD·DC=AD^2-AB^2．

抽象一些，索性写成BD·DC=|AB^2-AD^2|也行．

5.统一性与负数

无论数学，还是物理，往往都有一个共同的追求，就是追求结论形式简洁，追求结论统一性．

为了追求统一，必须将看似相同的几何对象进一步加以区分，并作相应量化．此时，负数的重要性就体现了．在平时教学中，很少有人对这样的现象作深入思索．

比如角．对于一个静态的角，如果从动态去理解，那么可以有两种不同的方式得到这个角，有“顺时针”与“逆时针”区别，于是产生“有向角”概念，从而在量化角的大小时，有正负之分；

又如面积．在用顶点字母表示同一个三角形时，字母是按“顺时针”书写，还是按“逆时针”书写，看成表示两个不同的三角形，于是产生“有向面积”概念，从而在量化面积的大小时，也有正负之分．

下面这个几何结论，知道的人还是比较多的：

等边三角形内任一点到三边的距离之和等于定值（三角形的高）．

这个结论在历史上被称为“维维安尼定理”．假如将这个结论作如下推广：

⑴等边三角形所在平面上任意一点；

⑵到三边所在直线的距离．

那么结论与证明又将如何呢？有无统一性理解？这个时候，如果采用“有向面积”理解就非常方便．

说得有点高大上了.我们还是从一个更加简单的话题谈起：

如图，A，B，C三点都在直线l上，

对于图1来说，点C在线段AB上，则AC＋CB=AB．

显然，这个结论成立是有前提下，那就是点C必须在线段AB上．

假如A，B，C是直线l上任意三个点，显然AC＋CB=AB就无法恒成立了．

数学是一门让人变得聪明的学科．在数学上，要让这个结论恒成立，有一个方法，那就是对于同一条线段AC，分成两种理解：线段AC与线段CA，将这两种理解成不一样的线段．不一样在何处？它们的方向不一样了．那么如何定义一个有方向线段（简称“有向线段”）的大小呢？于是就产生了一个概念“数量”．“数量”是在“长度”的基础上多了符号了．如果两条有向线段的方向相同，那么它们的“数量”符号相同；如果两条有向线段的方向相反，那么它们的“数量”符号相反．

在“有向线段”与“数量”概念的辅助理解下，不管A，B，C位置如何，结论AC＋CB=AB始终正确．有意思吧？

不信，你试试理解看呢．

借助“有向线段”与“数量”，前面所讲的等腰三角形性质，可以写成：

BD·DC=AB^2-AD^2

就始终正确了．不过需要再次提醒：这种写法成立的前提是要将线段BD与DC理解成“有向线段”，大小要理解成“数量”．

当然，如果不想扯上“有向线段”与“数量”概念，那么最简单的方式，就是记住一个符号规律：内同外异．这个规律具有一定普遍意义．在数学中的许多场合下，为了保证结论的统一性，都要遵循这样的符号规律．如数学中比比皆是的“定比分点”现象，包括本文后面将要提及到的“斯特瓦尔特定理”．

可以这样讲，没有“负数”，虽然数学仍然是美丽的，但美中存在许多残缺．有了负数，处处可以看到数学中具有统一性的美．这或许是我们许多数学人没有体会到的“负数的伟大”！

6.结缘“圆幂定理”

许多人知道“圆”中有相交弦定理，切割线定理，割线定理，却不知道“圆幂定理”，这是令人遗憾的．

可以这样讲，“圆幂定理”是集“相交弦定理”，“切割线定理”，“割线定理”之大成，是三个定理的统一形式．

圆幂定理：如图，定点P与定圆O，记OP=d，⊙O的半径为r，过P任意作一条直线与⊙交于A，B两点，则PA·PB=|d^2-r^2|（定值）．

注：示意图将P画在⊙O外，其实P在⊙O上，P在⊙O内，包括当点A与点B重合，即直线与⊙O相切时，结论始终是正确的．

前面所讲的等腰三角形的性质，也可以上升到“圆幂定理”的高度理解．建议有兴趣的老师研究一下．

7.为何写成AB·AC？

本文所讲的是三角形中，当有两条边相等时，将出现的一个性质，我们可以粗略地称之为“等边性质”．

三角形中，还有一个“等角性质”，只不过这里的“角”并非三角形自身的角．

如图，AD是△ABC的角平分线，则AD^2=AB·AC-BD·DC．

这是一个非常有意思的结论，当初我在学习平面几何时，只知道教材中的“角平分线定理”，即AB/AC=BD/DC．后来，在阅读课外书籍时，发现竟还有这样美妙的结论，深感惊奇与震撼．这个结论在历史上被称为“斯库顿定理”．

如果说前面等腰三角形中，AB·AC还可以写成AB^2的话，那么这里无论如何都不能这样写了．

如何证明这个性质呢？如同前面所说，“初始学习的人”与“有过研究的人”证明的想法不同．

对于初始学习的人来说，以下的探索过程是非常合理的：

AD^2=AD·AD=AD·(x-y)=AD·x-AD·y

如何解读AD=x－y，大体暗示我们延长AD至点E，则x=AE，y=DE．

作如上处理后，后续想法呢？设想让AD·x=AB·AC，BD·DC=AD·y．

于是依据对应边的暗示，构造相似三角形，从而得证．

对于有过研究的人来说，证明过程几乎以“背上并优化”后的形式呈现：

如图，延长AD交△ABC外接圆于点E，则

由△ABE∽△ADC得，AD·AE=AB·AC；

由△ADC∽△BDE得，AD·DE=BD·DC

两式相减得，AD^2=AB·AC-BD·DC．

这样的证明，让我想起关于大名鼎鼎的德国数学家高斯的故事．高斯，被后人称为“数学王子”．他的著作，立论严谨、结构完美．他掩盖了结论发现的过程，呈现出来的都是最终的精致绝伦的学术形态，很难读懂．有人曾说：“高斯像一只狡猾的狐狸，总是用尾巴扫去身后的足迹．”而高斯本人的态度是，“在盖好大楼以后，脚手架当然要拆掉”．

就我们教师而言，在新课教学过程中，应站在学生的角度，尊重学生的认知规律，讲出初始想法，提供合理证法。在学生理解了证明过程后，可以与学生进一步探讨，如何优化证明过程。这样的教学过程，才是科学合理的。

有意思的是，可以用“斯库顿定理”证明著名平几难题“施泰纳-莱默斯定理”，即“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．后者通常用反证法证明．直接证法非常难想，当然也有几种．

为什么将本文等腰三角形的性质中AB^2写成AB·AC，现在可以解释了．

观察前面“等边性质”与“等角性质”结论，形式高度一致！甚至我们可以用语言作如下描述：

中方=上积－下积．

所谓“中方”，指“中间线段的平方”，“上积”指上面两条边的乘积，“下积”指下面两条线段的乘积．

学习数学需要具备一定欣赏美的素养，如变中不变的结论，结论的简洁形式等等，都会让人感觉数学之美妙．如此，你才会乐此不疲地研究数学．

8.逆命题的结论

学习数学，要善于提出问题，向自己挑战，如此坚持下去，你的数学水平将会越来越高，看到的风景也将越来越美妙．

在数学上，思考逆命题是否成立，这是“提出问题”的一个常用方式．比如说，前面提到的“施泰纳-莱默斯定理”就是“等腰三角形两个底角平分线相等”的逆命题．

在前面两个结论的基础上，我们很自然会思索一个逆命题：