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亚历克斯·贝罗斯相对于前面随笔的《烧掉数学书》更为基础的数学起源与性质的科普本子。也挺有趣，更加贴近生活和习惯地把最基本的数字概念起源进行了探索。 数学直觉。 相对精确的数字观念，形成并不久远，不会超过1万年。作者根据一个语言学家皮卡长期在亚马孙丛林中对蒙杜鲁克族群的研究，发现一个基本规律——近似值和比率的概念，比之精确的数字概念，更加久远，也更贴近人的自然生活。 蒙杜鲁克人不懂数字，顶多能算到5，超过5就不知道怎么办了。皮卡采用了一个实验，把1-10个点给蒙杜鲁克人，看他怎么在一根直线上处理这10个点。蒙杜鲁克人处理的方式，与现代社会中尚未接触数学概念的幼儿差不多——他们能把10个点排在直线上，只不过，1-5这些数字较小的点之间的间距，要远大于排在后面的数字。 也就是说，数字越小的点，间距大于数字越大的点。——用数学话来说，这是一种对数数列的排列方式，也就是一种比率排列。 不懂数学的孩子也会这么排。 相对应的，就是现代社会成年人的我们，一般都会采用等距排列的方式，来罗列数字。这种在我们看来再简单自然不过的事，其实是一种后天学习的结果，是一种文化的产物。 何以蒙杜鲁克人会自然而然采用对数排列的方式来罗列数字？从人类学和语言学的角度来看，这是再合乎逻辑不过。 这是一种自然界生活的经验和习惯。面对一群敌人，你必须用最快的方式，也就是近似比较的方式，来确定敌人的数量和我们的数量，然后决定是应战还是逃跑。 同样的，面对一排树，站在一头看向另一头，一定是离我们最近的几棵树，间距要大于离我们远的几棵树，是吧？ 1和10是均匀的，但是5是1的5倍，10却只是5的2倍，对吧？ 即便我们了解了数学的线性规则，能够建立起诸如牛顿力学这类与我们的生活经验差异很大的科学分析框架，来理解宇宙，但是那种根植于我们原始个性中的对数感、或者说是，非线性的数字观感，也从未消失。 比如，我们知道时间均匀流逝，可我们也能感到，年纪越大，时间过得越快。离我们越近的日子，就显得比离我们已经远去的时间要长。 扩大开来，对数字的感觉，其实不仅人类，动物也都有，而且很有可能是基于同类的模式。 比如狮子会比较己方和对方的数量决定是躲避还是发起攻击；把蚂蚁的腿变短或变长，就能让它们错过自己的窝——蚂蚁显然是根据步数来决定行动方向的；虽然说动物不知道精确数值，但它们同样有多、少和比率的感觉。 这种数学直觉，在后来的心理学研究和脑科学研究中，被发现与后天的数学计算能力密切相关——数学直觉好的人，往往计算能力和数学成绩要好。也就是说，对多和少的比较，对比率的感觉好的人，天生数学能力就强，这可以影响到后天学习到的精确数学能力。 数字体系。 之所以我们会选择十进制，即10个数字为基数，目前认为主要原因是我们的双手。如果我们只有8个手指，估计采用的就是八进制。 跟我们使用的键盘排布一样，现在通用的并非最好的安排。其实更加方便的基数体系，应该是十二进制。 因为12可以被2、3、4、6整除，而10只能被2和5整除。想想也是，为什么会有“一打”这个概念，卖12个苹果，可以分成2袋、3袋、4袋，更多种包装量的选择。 最重要的，12进制可以让乘法表更容易记住，10进制乘法表只有2和5比较好记，12进制乘法表则有2、3、4、6更好记。而且，12进制也比10进制少了很多分数，12进制中，10的三分之一是4，四分之一是3。多好。 还有一种神奇的基数，那就是苏美尔人最早的六十进制。至今也没有弄明白为什么早期的人类会采用这么复杂的基数系统。不过接着苏美尔人的希腊人就沿用了这个系统，一直到今天，我们都是采用60进制来表达时间。 并不是没有人挑战过60进制的时间系统，1794年法国大革命期间采用的公制系统，打算用10进制来表达时间，一天分成10个小时，每个小时100分钟之类的，这样，10进制系统下的1秒，比60进制下的1秒要短那么一点。 当然改革失败了，不过失败产生的成果，是12进制被采纳了，也就是后来的24小时制。 一直到1998年瑞士Swatch集团还提出了1000拍制，一拍相当于1分26.4秒。 苏美尔人不仅留下了60进制的时间系统，还留下了计数棒这个神奇的东西。计数棒居然一直被沿用了2000年，一直到英格兰银行成立。 英格兰银行发行公债，谁买了公债，英格兰银行就会把一根计数棒劈开，一半叫Stock，给债权人，一半叫foil，相当于收据，存放在英格兰银行的库房里，计数棒上的刻痕代表金额。 所以，至今，股权人都称为stockholder，股票经纪人，也就是负责把计数棒劈开的那个人，就是stockbroker。哈哈。
在同期的中国已经使用纸币流通的情况下，英格兰人居然用木头当货币，估计我们又可以嘲笑和自信了。 可是，后来复杂精巧遍及全球最终也被我们学习和采用的财政金融体系，却是使用劈开木头和刻木头的英格兰人创造出来的，这又如何解释呢？ 语言特征也体现出了基数法则的起源。 中国和日本的语言在表达十进制计数系统时，有独特的优势——单音节，按十进制顺序罗列，这让中国和日本的孩子在学习数字计算方面有了天然优势；英语在10-20以内的表达毫无章法，显示出了12进制的特征；法语的表达怪异，80的意思是4个20，可能因为他们曾使用20进制；其它一些印欧语如西班牙、威尔士，则体现出了8进制的痕迹。 从数字到空间。 数字与空间和位置的关系是什么时候确立的，尚不清楚。当然最为经典的问题就是勾股定理。 这个定理虽然今天的我们看来简单至极，可越是简洁美观的东西，也就越深刻。 斜边平方等于两个直边的平方和——两个数的平方和等于另一个数，这可以说是数学史上最为经典的关系，敝号前些年随笔量子力学和相对论系列，就列示过，如何用勾股定理来论证相对论中最重要的结论——时间的可伸缩性，以及伸缩的系数，论证过程之简单，只需要初中数学知识即可；同时，这个简洁的平方和关系，到十七世纪还引发了一个困惑了大家三百年的问题——敝号前年随笔过的《费马大定理》。 数字和空间及位置关系表现为几何学，几何学的公理体系，正好就是人类自蒙昧时代以来孜孜追求的目标——寻找变动中的确定性。只有公理体系本身，无论在什么时间和地点，都是不变的。 欧几里得潜心于用最简单的工具——铅笔、直尺、圆规，划出任意他想到要构造的标准型。 要知道，《几何原本》第一个定理，就是如何用上述工具画出任意大小等边三角形，接着就是正方形，正五边形，正八边形。后来的两千年中，人们继续追求，一直到1894年，还有个德国学者赫尔梅斯用了10年时间，画出了正65537边形。 用今天我们流行的话来说，搞这些有什么蛋用？ 做的结果和东西看起来是没有什么蛋用，兴趣爱好使然。只是这背后揭示出来的数字与空间和位置，乃至与时间的关系，严谨的逻辑理路，追求分析的量化，就构成了科学理性的基础。 也就构成了我们一直以来的疑问——何以有如此之多巨大工程成就和发明创造成就的中国没有产生现代科学理性的根本原因——我们只关心有什么蛋用的时候，人家在追求思考模式的极致。 典型的例子有两个，其一是欧拉，纯粹出于好玩写下了弹性力圈的公式，也不知道能干什么蛋用，两百多年之后，用于解释夸克本质的弦理论，居然能直接套用这个公式。 其二是上世纪70年代的物理学家彭罗斯也是出于好玩，发明了几种非周期性平铺方式——就是把特定形状“铺地砖”，到80年代末，人们居然发现了恰好按照这种非周期性方式构成的晶体，而此前这种形式的晶体被认为是不存在的。 用我们的传统思维方式，一定是因为要解释夸克，所以才有了数学公式，一定是因为发现了晶体，才有了晶体结构的理论。事实却恰好是反过来的。 如果一直是这种看起来“实用”的思路，如果世界只有这一种思维模式，我相信再过一千年，电话也发明不出来。 比较好玩的数字与空间关系，还有一个门格尔海绵或者谢尔宾斯基地毯。就是想象一个大正方形，可以分解为9个小正方形，移除中间的正方形；然后每个小正方形，又可以分解为更小的9个正方形，如此类推，以致无穷。 把正方形拓展为立方体，就会生成一个悖论，随着移除的小立方体越来越多，原来的立方体逐渐被掏空，体积越来越小；然而，随着立方空洞增加，表面积却越来越大。 折纸也是，直到上世纪80年代，数学界才开始意识到折纸的数学深意。比如，人们可以用折纸的方式，求到任意长度的立方根！这曾经是迷惑了数学界一千多年的问题；同时，还可以用折纸的方式，求得任意角度的三等分。在折纸实现之前，人们还无法从几何上证明这一点。 联想一下咱们的传统工艺美术——剪纸，那不同样也就是立体几何吗。 |
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