一道经典非数学类竞赛积分极限综合训练题.

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题目

设正值函数 , 证明

• 对每一个 ,存在唯一的

使得

• 设  如上一问所定义, 证明

原题和分析

来自清疏大学生数学竞赛班🙋

本题对于非数学类竞赛还是颇有难度的, 证明想法的核心就是把平方积分拆成分段求和, 而每一个段拿出一个, 把变成就可以完成证明. 属于竞赛班讲到的, 强行替换的基本思想.

证明

先来看第一问, 事实上取 , 注意到  是连续严格递增函数, 因此由连续函数介值定理, 存在唯一的

使得

这恰好是

再来看第二问, 由(1), 我们知道

由cantor定理^[1] 我们知道  在  一致连续, 因此对任何 , 存在 , 只要 , 就有

因此当正整数

我们有

于是利用(2), 我们有

这就证明了

也即

我们完成了证明.

参考资料

[1] 

cantor定理: https://baike.baidu.com/item/康托定理/9445620?fr=ge_ala