 自己学习用，如有错漏请指出。 目录： 引言 1 弦振动方程 1.1 建立假设 1.2 分析微元 2 热传导方程 2.1 建立假设 2.2 分析微元 3 拉普拉斯方程（和泊松方程） 3.1 建立假设 3.2 分析微元 总结 下面的物理量，如不特殊声明，均为国际单位制(International System of Units)的单位。 引言 偏微分方程[1]（英语：partial differential equation，缩写作PDE）指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。 大约在微积分出现之后不久，人们就开始了关于偏微分方程的研究。因为许多物理的基本规律的数学形式都是偏微分方程。 偏微分方程在数学导向的科学领域中无处不在，比如物理学和工程学。例如，它们在现代科学对声音、热传导、扩散、静电学、电动力学、热力学、流体力学、弹性学、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、泡利方程等）的理解中具有基础性作用。它们还源于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分法；除其他显著的应用外，它们是证明庞加莱猜想的基本工具，该猜想属于几何拓扑学领域。[2] 这些来自物理的偏微分方程，就是我们常说的数学物理方程。 下面我们将介绍三个经典的数学物理方程：弦振动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。不仅因为它们很简单，而且它们也代表了三类不同的典型方程。 1 弦振动方程  弦振动现象 推导弦振动方程，我们需要为弦振动现象建立数学模型。本质上我们需要取弦的每个微小部分，进行力学方面的刻画。 1.1 建立假设 弦是一个力学系统，是一个连续的质点组，其运动符合牛顿运动定律。我们对其做如下简化假设： 弦在某平面振动。设弦的平衡位置为轴，弦上每一点的位置由其横坐标表示。弦振动时每一点都在某个固定的垂直于轴的方向（记为轴）有的位移。 弦的振动为小扰动。并非说很小，而是说，。从而计算的时候可以忽略不计。 弦是柔软的。也就是说，我们假设弦所受的力都是切线方向的张力，弦的法方向不受力。（从而如果我们把弦扭弯，即从法方向造成形变，弦没有内力抵抗） 弦是均匀的。  图1 如图，弦在以左和作用于点和 详见参考文献[3]。 1.2 分析微元 我们考虑图中弦上的一小段的横坐标差为。这是一个微元。 微元的性质： 微元必须足够小，使得我们可以无视其内部各点的差别；（比如我们认为图中的长度满足的质量 ，从而 。 由牛顿第二定律可知， 从而 其中。(13)式即为弦振动方程。 注：我们能够发现，一开始的几个假设来源于想要简化“对微元受力分析”的需求。 2 热传导方程  热传导示意图 我们研究均匀物体内热的传导。我们观察物体的某一个小部分，刻画其在一段时间内热量的变化。 2.1 建立假设 2.2 分析微元 设物体的密度为, 物体的比热容和热传导系数都是常数。 任取物体内一点, 取物体以该点为顶点的一个的小长方体作为微元（满足上面推导弦振动方程时说的“足够小也足够大”的性质）。记该长方体的中心点为。  微元 我们用微元中任意一个点的温度来表示整个微元的温度，记为或。随着时间变化，微元的温度会发生变化。 下面我们设一个足够小的时间段，研究微元在这个时间段热量的变化。 一方面，由比热容的定义我们可以得知 在此我们近似地认为 不变，从而 故 另一方面，我们有傅立叶定律[4]： 即热容密度（矢量。大小是单位时间内流过单位面积的热量，用表示；方向是热量流动的方向）等于热传导系数乘以负的局部（不考虑时间）的温度函数的梯度。公式里的指的是面积微元对应的单位法向量。  热量流过单位面积示意图 从而对于时间内流过面积的热量，我们可以用矢量表示。 对于小长方体微元来说，我们考虑时间段流入该微元的热量，从左右、前后、上下三组面来讨论。 在时间段中，左面热量沿方向流到小长方体微元中，右面热量沿方向流到小长方体微元中。由于左、右面的方向（、方向）与左、右面的法向量方向相同，从而 类似地，前面、后面热量沿和方向流到小长方体微元中。于是 下面、上面热量沿和方向流到小长方体微元中。于是 从而流入小长方体微元中的总热量为 结合(14)和(31)我们得到： 其中, 是拉普拉斯算子。(32)被称为热传导方程。 3 拉普拉斯方程（和泊松方程） 我们希望探究静电场中某一体积微元的性质。  3.1 建立假设 高斯定律基于的是库仑定律和电场叠加原理[5]。其中库仑定律是实验定律，其本身就对实际情况做了某种简化、理想化或省略。 3.2 分析微元 假设空间中的静电场的电荷密度为, 电场强度矢量为 （高斯定律）[6]  高斯定律积分形式示意图  高斯定律微分形式公式解释 （散度）的定义：，是向量值函数，两个是真空介电常数。 由数学中的高斯公式可知，对 ，我们有  高斯公式 从而 根据上式即可由高斯定律的积分形式推导出高斯定律的微分形式。将上式写成对求导的形式，用积分后得到的表达式即可从高斯定律的微分形式推导出高斯定律的积分形式。 由高斯定律的微分形式（这里直接用的是物理定律，但高斯定律的微分形式是通过分析微元导出的，详见上面高斯定律卡片的参考资料）， 由电场强度的定义，。所以 即 其中。我们将(34)这种形式的方程称为泊松（Poisson）方程。 ，即实例中电场中没有电荷的时候，方程(34)变为 我们称这种形式的方程为拉普拉斯方程。 热传导方程(32)的解与时间无关（则我们称温度场为定常温度场）时，方程也是拉普拉斯方程。所以，拉普拉斯方程也可以描写定常温度场。 不但如此，它还可以描写引力场势等等。概括地说，它所描写的自然现象是稳定的、定常的，亦即与时间无关的。 总结 拉普拉斯方程可以描述种种不同的现象，其他方程也如此：热传导方程还可以描述扩散现象，弦振动方程可以描述传输线中的电流或电压(当参数适合一定的条件时)，还可以描述轴的扭转振动等等。这种情况正是数学物理方程作为描述自然现象的工具的力量所在。 实际上，这三个方程各是类方程的典型，各反映一类自然规律。尤其是，这三类方程的数学性质各取决于一个二次型的性质。在书[7]中，我们将依据这个二次型将方程分类，并逐类进行讨论。 参考资料[1] 偏微分方程 - 维基百科，自由的百科全书: https://zh./wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B[2] Partial differential equation - Wikipedia: https://en./wiki/Partial_differential_equation[3] 数学物理方程 - 吉洪诺夫, Тихонов, 萨马尔斯基, Самарский - Google Books: https://books.google.com/books/about/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%89%A9%E7%90%86%E6%96%B9%E7%A8%8B.html?id=57iKtgAACAAJ[4] Thermal conduction - Wikipedia: https://en./wiki/Thermal_conduction#Fourier's_law[5] Gauss law - Wikipedia: https://en./wiki/Gauss%27s_law#:~:text=Strictly%20speaking%2C%20Gauss's%20law%20cannot,field%20obeys%20the%20superposition%20principle.[6] Gauss law - Wikipedia: https://en./wiki/Gauss%27s_law[7] 广义函数与数学物理方程 | 齐民友; 吴方同 | download on Z-Library: https:///book/11426697/77cb8b?signAll=1&ts=0426 微分形式：空间静电场中任意一点电场强度的散度与该点处的电荷密度成正比，准确来说就是 积分形式：空间静电场中任意封闭表面流出的电场通量与该封闭表面内的电荷总数成正比，准确来说就是 物体是均匀的。设其密度为。 下面的傅立叶定律是一种简化假设，因为它只适用于一定情况。 参数、、无关也是一个重要的简化假设。 “弦是柔软的”、“弦在平面运动”使得我们能绘制出受力分析图; “弦的振动为小振动”这条假设让和方向受力分析的表达式得以化简。 |
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