质点运动学部分习题解答
解: (1) 根据已知, 该质点时刻的位矢为 第内是指到这段时间, 这段时间内的平均速度为 (2) 质点任意时刻的速度为 代入即可得到第末的速度 (3) 由(2)可知质点任意时刻的速率为 可以看到当的时候, 于是第内的路程为
解: (1) 这里需要注意第内指的是和间的这时间, 而 故有 于是这段时间内的位移为 对应的平均速度为 (2) 根据已知, 我们知道任意时刻质点的位矢为 于是在任意时刻的速度和加速度分别为 和
解: 根据已知, 质点的加速度随时间变化是线性的, 对应的急动度(即加速度随时间的导数)大小为 由此可以得到加速度随时间的变化关系为 注意到初始时刻静止, 因此时刻的速度为 时刻质点走过的距离为 代入则可得到时间后质点的速度为 质点走过的距离为
解: 根据链式法则和加速度定义, 我们就有 也就是说我们有 对上式两边进行积分, 就有 根据已知条件, 我们有, 代入上式解得, 于是我们得到质点在位置处的速度为 接下来我们注意到 考虑到初始时刻其速度为零, 而加速度恒为正值意味着之后的速度也必然为正值, 着另一方面意味着质点始终沿着轴正方向运动, 因此质点速度和位置之间的关系式为 换句话说, 这里说到的任意位置其实并不是真正的任意位置, 质点是不可能到达负半轴的!
解: 这个和上一题的求解思路是一样的, 根据式我们有 整理一下, 我们就有 积分后整理就有 这里是积分常数, 根据已知条件, 我们有, 于是
解: 由于路程是速率的积分, 由已知的运动学方程可以求得时刻的速率为 而速率对时间的导数即为切向加速度, 由此可知时刻的切向加速度大小为 由此可知时的切向加速度大小为 注意到的时候质点走过的路程为 而段的长度为 段的弧长为, 它和段的和大于, 因此的时候质点位于段, 其运动轨迹的曲率半径为, 进而时法向加速度大小为
解: (1) 首先我们求解质点在任意时刻的加速度矢量, 这个只要对速度矢量进行求导即可: 接下来我们求解切向加速度的大小, 我们通常有三种方式: 方式1: 注意到切向加速度实际上是速率的变化率, 而速率随时间的变化关系为: 于是时刻切向加速度大小为 方式2: 由于速度的方向就是切线方向, 我们得知切线方向的单位矢量为 我们把开始求解的加速度矢量向切线方向做投影, 即可得到切向加速度大小为: 方式3: 我们通过求解法向加速度来间接求解切向加速度, 这就要求我们求解时刻的曲率, 根据参数曲线的曲率公式, 我们有 从而法向加速度的大小为 接下来我们就可以得到切向加速度的大小了: (2) 求解位置矢量只要对速度矢量进行积分即可, 我们求一次不定积分就有 这里是矢量不定积分带来的积分常矢量, 代入可以发现, 于是我们得到任意时刻的位置矢量为
解: (1) 原则上我们需要求解牛顿定律(但是目前我们还没有学习这个定律), 不过考虑到我们已经熟悉平抛运动了, 就不再费事儿了, 水平方向为匀速直线运动, 竖直方向为自由落体运动, 于是位置矢量可以直接写出来: 从分量方程 中消去时间参量, 我们就得到了轨迹方程: (2) 对位置矢量求导即可得到速度矢量: (3) 首先小球的加速度矢量为 而切线方向单位矢量为 于是切向加速度大小为 法向加速度大小为 当然, 我们也可以按照上一问中的其它两种方法对其进行求解, 比如法向加速度大小就可以直接利用曲率进行计算: 明显容易许多, 一般地, 对于平面曲线运动, 使用上式计算法向加速度有显著优势. |
|
|
