第6期 | 一道有意思的数列不等式证明

上周忙着出卷子，监考改卷没来得及更新，本期就直接上题吧😊

P1第Ⅵ期问题★★★★

数列 满足: . 求证：

本期问题是关于数列的性质和求和，难度4颗星，做出来的朋友可以在公众号后台发消息图片过来，署上名字或代号哈！我会一一收集并发布到公众号，若不方便请特别说明~

P2上期问题及解答

1题目

一袋中有 3 个白球和 4 个黑球。从中任取一球, 如果取出白球, 则把它放回袋中; 如果取出黑球, 则该黑球不再放回, 另补一个白球放到袋中。在重复 次这样的操作后, 记袋中白球的个数为 的概率为 ，设 ，请求出数列 的通项公式.

2答案

分别令 , 则 , 依题意,

由(3)式可知数列 是首项公比均为 的等比数列, 易得 , 代入(2)式得， , 等式两边同除以 可得,

即

利用累加法可得, , 化简得, , 代入(1)式可得,

等式两边同除以 可得,

即

利用累加法可得,

则

3优秀解答

此法非常暴力直接

4反思

此题如果直接通过前几项去推导通项公式会有一定的难度，构造中间数列层层递进得到最终数列的通项公式是一个不错的策略，当然本题还考查了概率的知识和数学理解能力，综合性较强，可以拿来训练学生的思维~

有兴趣的朋友可以做做下面的变式~

5变式

我去过很多地方，有些地方非常奇怪。其中就包括一个名叫奇想岛的神秘地方。奇想岛是一个与世隔绝的小岛，位于地图上很难找到的位置。当我第一次听说它的时候，我的好奇心就被激发了起来。据说奇想岛是世界上最奇特的地方之一，它充满了种种超自然的现象。

3月的最后一天，我乘船抵达了岛上的小港口，那里依然保留着古老渔村的风貌。我在岸边漫步，遇到了一位老人，他告诉我，岛上的天气变化非常奇妙。这里的天气不受四季影响，只有雨天、阴天、晴天和雨阴晴混合四种天气，每个月的天气是独立的，无论月底是什么天气，下个月第一天的天气一定是雨天或阴天，概率分别是七分之三和七分之四；从每月第一天开始，如果今天是雨天，明天一定是雨天或阴天，概率分别是七分之三和七分之四；如果今天是阴天，明天一定是阴天或晴天，概率分别是七分之四和七分之三；如果今天是晴天，明天一定是晴天或雨阴晴混合天气，概率分别是七分之五和七分之二；如果今天是雨阴晴混合天气，明天一定也是雨阴晴混合天气。我感觉难以置信，决定探索一下这里的天气变化规律。

我尝试计算4月每天雨天、阴天和晴天的发生概率，发现它们都可以构成有规律的数列，如果是你，能求出这3个数列的通项公式吗？

前路漫漫，唯有披荆斩棘，方能走向远方！

一 END 一