【原】2.1.1一阶微分方程的方向场

一阶微分方程

数学的历史上充斥着人们的故事，他们花了大部分时间来求解方程——代数方程，最终是微分方程。在第2.2-2.5节中，我们将研究求解一阶DEs的一些重要的分析方法。但是在我们开始解决任何问题之前，你应该注意两个事实：一个微分方程可能没有解，而一个微分方程可能有解，但可能不存在任何解析方法来求解它。在第2.1和2.6节中，我们没有解任何DEs，而是展示了如何直接从方程本身收集关于其解的信息。

2.1 没有解的解曲线

介绍 让我们想象一下，我们面前有一个一阶微分方程 ，既不能找到解，也不能发明解析求解它的方法。然而，情况并不像人们想象的那么糟糕，因为微分方程本身可以提供关于其解的"行为"的信息。

我们从两种定性分析微分方程的方法开始研究一阶微分方程。这两种方法都能让我们以近似的方式确定解曲线的外观，而不必实际求解方程。

2.1.1 方向场

一些基本问题

我们在第1.2节中看到，每当 和 满足一定的连续性条件时，可以回答有关解的存在性和唯一性的定性问题。在本节中，我们将看到，当函数 仅依赖于变量 时，通常可以回答有关解的性质的其他定性问题——解在某一点附近的行为如何？解在 时的行为如何？然而，我们首先从微积分的一个简单概念开始： 可微函数 的导数 给出了其图上各点的切线斜率。

斜率

由于一阶微分方程

的解 必然是其定义区间 上的可微函数，因此它也必须在 上连续。因此，对应的解曲线在 上不应有断点，并且必须在每一点 处具有切线。标准形式 (1) 中的函数 被称为斜率函数或速率函数。在解曲线上点 处的切线斜率是该点处一阶导数 的值，根据 (1) 我们知道，这就是斜率函数 的值。现在假设 表示 定义的 -平面上区域中的任意点。函数 分配给该点的值 表示线的斜率，或者我们将其视为线段，称为线性元素。例如，考虑方程 ，其中 。在点 处，线性元素的斜率是 。图 显示了一个斜率为1.2的线段并且经过点 。如图 所示，如果解曲线也经过点 ，那么它将与该线段相切；换句话说，线性元素是该点的微小切线。

方向场

如果我们系统地在 -平面上的一个矩形点网格上评估 ，并在网格的每个点 处绘制斜率为 的线元素，那么所有这些线元素的集合被称为微分方程 的方向场或斜率场。从视觉上看，方向场提供了微分方程解族的外观或形状的暗示，因此，可以一眼看出解的某些定性方面，例如平面中的某些区域，解表现出异常的行为。通过穿过方向场的单一解曲线必须遵循场的流动模式；当解曲线与网格中的点相交时，它与线性元素相切。下图显示了微分方程 在 -平面的一个区域上生成的方向场。请注意，图中显示的三条彩色解曲线如何跟随场的流动。

matlab绘制

% 定义微分方程
dydx = @(x, y) sin(x + y);

% 定义区域
x_range = linspace(-2*pi, 2*pi, 20);
y_range = linspace(-2*pi, 2*pi, 20);
[x, y] = meshgrid(x_range, y_range);
dx = ones(size(x)); % 在每个点上的dx都为1
dy = dydx(x, y); % 使用微分方程计算在每个点上的dy
figure;
quiver(x, y, dx, dy, 0.8); % 0.8是箭头的缩放因子
title('微分方程方向场');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis tight;
grid on;

示例1 方向场

图 中显示的微分方程 的方向场是通过使用计算机软件获得的，该软件定义了一个 的点网格 ，其中 和 是整数，通过设置 和 来定义。请注意，在图 中，沿 -轴（）和 -轴（）的任何点，斜率为 和 ，因此线性元素是水平的。此外，观察第一象限，对于固定的 值， 的值随着 的增加而增加；类似地，对于固定的 ， 的值随着 的增加而增加。这意味着随着 和 的增加，线性元素几乎变成垂直的，并且具有正斜率（对于 ，）。在第二象限中， 随着 和 的增加而增加，因此线性元素再次几乎垂直，但这次具有负斜率（对于 ，）。从左到右阅读，想象一个解曲线，它从第二象限的一个点开始，急剧向下移动，穿过 -轴时变平，然后当它进入第一象限时，急剧向上移动-换句话说，它的形状会呈上凹形，并类似于马蹄铁。由此可以推测， 时， 。

在第三和第四象限中，由于分别具有 和 ，情况恰好相反：解曲线随着从左到右的移动而增加然后减少。

我们在第1.1节 中看到， 是微分方程 的显式解；你应该验证，同一方程的一参数解族由 给出。为了与图 进行比较，图 中显示了该解族的一些代表性图形。

示例 2 方向场

使用方向场来勾画初始值问题的近似解曲线。

解决方案

在此之前，请回顾一下，根据 的连续性和 ，解的唯一存在性定理保证了在平面上通过任何指定点 的位置存在唯一的解曲线。现在，我们再次设置计算机软件以用一个 的矩形区域，指定（由于初始条件）该区域中具有垂直和水平间隔为 单位的点，即点 ，其中 和 是整数，使得 。结果如图所示。因为 的右侧在 处和 处为零，所以对于所有第二坐标为 或 的点，线性元素都是水平的。因此，通过初始点 的解曲线具有图中所示的形状。

增加/减少

将导数 解释为斜率的函数在构建方向场时起着关键作用。下面将使用导数的另一个有说服力的属性，即如果在区间 中对所有 有 （或 ），则可微分函数 在 上是增加的（或减少的）。

注解：

对于微分方程 ，曲线家族 ，其中 为常数，被称为等势线。通过特定等势线上的点绘制的线性元素，比如 ，都具有相同的斜率 。