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前一段时间，在评高级教师职称的时候，需要参加晋升高级教师课堂教学能力考核，需要准备的课是《平均数》。这节课虽然也听过、上过，但在准备这节课的学习过程中，还是有些许收获，分享给大家。 平均数是大家熟悉的统计量，在日常教学中也会有一些“误区”，那在评审老师的眼中，这些“错误”可能会影响最终的考核。 平均数的教学要帮助学生理解平均数的意义，不仅要关注平均数的概念意义，算法意义，更要关注统计意义。
1992年颁布的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》，首次将平均数纳入“统计初步知识”纳入“统计初步知识”，并在教学要求中明确提出“初步理解平均数的意义，会求简单的平均数”（三年级），“会根据收集的数据求平均数”（四年级）。 也就是在1992年之前，平均数的确作为典型应用题出现在教学大纲和教材中。但是自从1992年这个大纲版本之后，平均数就被纳入统计量中。如果脱离统计背景，将平均数的应用当作一种典型应用题去教，而纯粹从训练学生解题角度去教学，就容易忽略平均数的意义。 2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，进一步予以拓展，具体目标第一学段为“通过丰富的实例，了解平均数的意义，会求简单数据的平均数”，第二学段是“通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义，会求数据的平均数、中位数、众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征”。 《义务教育数学课程标准（2011年版）》，在第一学段不再教学平均数，且删去了中位数、众数。第二学段的相关教学要求是“体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义”。 《义务教育数学课程标准（2022年版）》，统计与概率领域在小学阶段包括“数据分类”“数据的收集、整理与表达”和“随机现象发生的可能性”三个主题。在第二学段“数据的收集、整理与表达”【内容要求】：探索平均数的意义，能解决有关的简单实际问题。能在简单的实际情境中，合理应用统计图表和平均数，形成初步的数据意识和应用意识。 【教学提示】平均数教学要引导学生在熟悉的情境中理解平均数所具有的代表性，通过刻画一组数据的集中程度表达总体的集中状况。 可见，小学阶段平均数的教学，从作为应用题到作为统计初步知识的变迁。了解这些内容，对于重新理解教材是有益的。 2.将平均数和平均分混淆起来 平均数的概念与平均分是不完全一样的，二者既有联系也有区别。平均数是借助平均分的意义通过计算得到的，是一个“虚拟”的数。如“12个草莓平均分给4个人，每人可以分得3个”，这里的“3个”是每个孩子实际分得的个数；而“4个人共有12个草莓，平均每个孩子有3个”，这里的“3个”就是平均数，表示不一定每个孩子都有3个。 平均分，目的是为了均等的分配。在除法的认识中，可以从等分除和包含除两个层次理解。平均数反映的是一组数据的整体水平，而不是平均分后个体所获得的结果，更强调其统计学意义。 由于平均数不一定是一个“真实”的值，需要充分利用教具、学具，用直观的方式帮助学生理解平均数的含义。但如果平均分和平均数区别不理解，在通过移多补少方法引出平均数时，容易出现一些动画或实物移动不严谨的问题。
这样的动画往往给学生一种误解：平均数就是平均分的结果，是一个真实的数。
这里可以通过虚框的方式，当作一种假设，直观理解平均数是个“虚拟”的数，平均数并不是将所有的数据都变得相等，而是一组数据上下波动的平衡点。 3.平均数的意义有哪些？ 有学者用三个“极为”归纳平均数的特点：数学计算“极为简单”，现实应用“极为频繁”，统计意义“极为深刻”。 在数学教育领域，关于平均数的意义，有各种各样的解读。引用较多且比较贴近小学教学的是特拉维夫大学两位学者的研究，他们认为平均数的理解包括7条性质： ①平均数位于最小值和最大值之间。 ②平均数与原始数据的离差和为0。 ③平均数会收到不等于平均数的数据的值的影响。 ④平均数不需要与相加的数据中的某一个相等。 ⑤平均数可以是一个在现实中没有实际意义的分数。 ⑥平均数是被平均的那些数的代表。 ⑦在计算平均数时要把数值为0的考虑在内。 其中，第2条，准确地说，是“离差的代数和为0”。平均数的一条重要性质“平均数与原始数据离差的平方之和为最小。”当然，这些性质都在中学教材里。 就新课标而言，在附录部分的例40、例41、例42和例43都分别进行举例和说明。就小学数学教学实际而论，平均数的理解，首先在于： （1）平均数是表示一组数据整体水平或者一般水平的代表数。 在教学平均数时，更多去关注平均数的算法意义。 在统计学中，也是通过公式（平均数=总和÷个数）给平均数下定义的。但只从如何计算去理解平均数远远不够。 “移多补少”作为平均数的一种几何意义，显得非常直观。正是由于“移多补少”具有过程与结果一目了然的优点，符合儿童认知。 这里的“公式”和图式“移多补少”虽有可取之处，但他们还是侧重平均数的算法，还需要进一步引导学生理解平均数作为统计量数的实质：用一个数表示一组数据的集中趋势（整体水平或一般水平）。
在【例40 哪个小组跳绳水平高】中，这里的案例说明可以总结如下： ①感受必要性。首先让儿童认识到两个小组人数不同，因此不能用总数比较两个小组跳绳水平的依据，感悟引入平均数的必要性； ②感受代表性。在引导儿童利用平均数进行比较的过程中，感悟平均数可以用来代表小组的整体水平；引导儿童讨论第一组中两个“92”的实际意义，通过这两个数值多表示意义的不同，进一步理解平均数的代表性； ③感受趋中性。在用平均数值对两个小组跳绳水平进行分析的过程中，逐步理解平均数作为一个统计量，能够刻画一组数据的集中趋势，介于“最大数”和“最小数”之间。 ④感受随机性。如果第二组再增加一位儿童，平均成绩是否一定会比第一组的平均成绩高。感悟数学的随机性和平均数的随机性。 当然，理解平均数作为“整体水平代表”的统计意义离不开认知它的数据分析功能。一般认为，平均数主要有两大分析功能，一是推断（由样本估计总体），二是比较（几组数据的整体水平）。这都源于平均数可以降低误差的功能。 （2）在算法意义中理解统计意义，两者应统一起来。 平均数=（每个数据相加的总和）除以数据的个数。 从这个计算的角度，也可以发现： 平均数对数据反映灵敏，每个数据都会影响它。数据越极端，影响越大。 平均数可能不想等于任何一个原来的数。 平均数在数据的最小值、最大值之间。 原始数据与平均数的差之和为0。 可见，平均数的算法意义和统计意义应该是个整体，不应该割裂开来。 当然，关于平均数的种类，平均数、众数、中位数的联系与区别，为什么平均数可以刻画一组数据的一般水平，哪些所谓的“经典题目”其实也有些“毛病”等等，这些都在后续的文章中继续探讨。 |
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