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我曾经听到过有人说爱因斯坦的数学很差，对此我只能说那是要看和谁比，如果要和希尔伯特比，爱因斯坦毕竟不是专业的数学家，在以严谨著称的希尔伯特面前可能稍逊一筹，但无论如何不应该将他的数学归于差的行列之中。他们二人的故事在广义相对论的数学基础上产生了交汇，也是我们今天的主题，希望你们能喜欢。 广义相对论：1905年爱因斯坦发表狭义相对论后，他开始着眼于如何将引力纳入狭义相对论的框架。以一个处在自由落体状态的观察者的理想实验为出发点，他从1907年开始了长达八年的对引力的相对性理论的探索。期间经历多次弯路和错误之后，他于1915年11月在普鲁士科学院上作了发言，其内容正是著名的爱因斯坦引力场方程。这个方程描述了处于时空中的物质是如何影响其周围的时空几何，并成为了爱因斯坦的广义相对论的核心。
爱因斯坦十字现象 我们从希尔伯特开始，他出生于1862年，是数理逻辑的创始人，他有一个伟大的信念：即相信现代数学工具最终可以统一所有数学，并为其提供广泛的可证明性的明确基础。这些工具特别包括集合论和主要由他自己发明的东西，称为皮亚诺算术。当然后来的事情我们也知道了他统一数学的雄心壮志在1931年崩溃了，当时哥德尔（Kurt Gödel）发表了他的不完备性定理，表明即使在非常简单的算术系统中，也有一些我们知道是真实的陈述，我们无法证明。即所谓的不可认知论。 希尔伯特的宏伟计划和哥德尔不完备定理：想要了解这段故事可以参考以前我写的几篇文章：希尔伯特——我们必须知道，我们必将知道以及公理化的豪言壮语与哥德尔不完备定理 再说到爱因斯坦，他比希尔伯特要年轻得多，出生于1879年。从小就是一个非常出色的学生，12岁时，发现了自己的勾股定理证明。15岁时就掌握了微积分。他有一位名叫马克斯·塔木德（Max Talmud）的私人导师，经常向他介绍些几何学和几何学和康德哲学等问题，而爱因斯坦在14岁之前就已经深入研究了这两件事。为此塔木德不得不向爱因斯坦赠送了高级几何教科书，但很快地爱因斯坦就完成了阅读。 他的数学天分是如此之高，以至于后来塔木德不得不承认自己已经跟不上爱因斯坦的步伐了。不过即便如此爱因斯坦的主要倾向仍然不是数学，而是物理学，十几岁时，他写了一篇关于磁场中以太状态的研究的文章。在同一年时，他在一本练习本中写了一个Gedanken实验，他想象着沿着一束光穿越宇宙。 Gedanken（思维）实验：思维实验是指用想像力的实验，所做的都是在现实中无法做到的实验，例如爱因斯坦有关相对运动的著名思想实验，又例如他和英费尔德合著的科普读物《物理学的进化》中要求读者想像一个用平滑，无摩擦力的地面及球体的实验，思维实验要的是想像力而非感官。很多人熟悉的薛定谔的猫也是一个著名的思维实验。
薛定谔的猫思维试验 他被允许提前进入Eidgenössische Polytechnische Schuler，因为他的数学成绩优异，虽然他在法语，化学和生物学方面的得分很低。离开理工学院后，由于他经常旷课，他没有收到导师的推荐信。但是在这期间他的最终的数学成绩非常出色。 Eidgenössische Polytechnische Schuler：是苏黎世理工(ETH)的德文名称，是瑞士的两所联邦理工学院之一，位于德语区的苏黎世，另一所是位于法语区的洛桑联邦理工学院。苏黎世联邦理工学院是世界最著名的理工大学之一，享有“欧陆第一名校”的美誉。该校创立于1855年，现有530位教授及来自于120多个国家的分布于16个系的20600多名学生，其中包括约4000名博士生。教研领域涵盖建筑、工程学、数学、自然科学、社会科学和管理科学。截止到2018年10月，ETH的历届校友、教授及研究人员中，共有32位诺贝尔奖得主（包括爱因斯坦）、4位菲尔兹奖得主、1位图灵奖得主。
ETH俯瞰图 让爱因斯坦和希尔伯特产生交集的磨合源自1915年，当时爱因斯坦正在研究广义相对论，希尔伯特邀请爱因斯坦到哥廷根大学讲授他的理论，他住在希尔伯特家。当时爱因斯坦使用的一些数学是由希尔伯特研究的。在此之后，希尔伯特的好奇心被激起，他开始掌握相对论的数学。爱因斯坦对此感到有些不舒服，为此那段时间很努力地学习数学。 那个阶段的爱因斯坦和希尔伯特似乎对所涉及的复杂数学有着大致相同的理解。然而，希尔伯特由于对这个问题的物理事实相对不熟悉而受到阻碍 。例如，爱因斯坦多年来一直致力于水星的近日点推进，并且知道一个基本的测试是从任何未来的场方程系统地推导出来。希尔伯特作为一个纯数学家被他的本能所束缚，这也是为什么这个问题是爱因斯坦的想法而不是希尔伯特的。 同年4月11日，爱因斯坦发表了非协变场方程，通过对能量-动量张量的情况做出相等假设，实现了他早期论文中的场方程的协变版本。希尔伯特有一份手稿，结果与爱因斯坦相同。爱因斯坦在4日和11日向希尔伯特发送了他的论文校样，希尔伯特后来作证说，他根据校样修改了自己的作品（目的是验证，而不是抄袭）。 之后，希尔伯特在哥廷根数学学会发表了题为“物理学家”的演讲。他立即向爱因斯坦发送了一份他所说的话的摘要。爱因斯坦回信给希尔伯特，兴高采烈地告诉他，他们意见一致，并附上了他如何取得最终成果的一些细节。在这方面，爱因斯坦提到了推广牛顿和水星近日点前进的问题。 显然在物理学领域爱因斯坦的经验远远超过希尔伯特。希尔伯特在他生命的尽头作证说，爱因斯坦很好地击败了他。所以那些认为爱因斯坦数学差的，到这里应该可以放弃这种想法了，或许有些数学的推导部分不是那么严谨，但我相信那是爱因斯坦的工作方式，一个优秀物理学家的工作方式。
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