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摘 要 从导数的定义出发,结合微积分的思想,讨论上海新高考中的导数命题,以及其带来的教学指导意义. 关键词 高考数学、导数、微分学 注 本文初稿写于2023年6月,有待完善,尤其是上海高考导数命题与全国其他地区的对比,以及导数在中学数学建模中的应用和展望. 众所周知,自2020年秋季学期开始,上海地区开始使用新的高中数学教材,由上海教育出版社出版(后文简称上教版),取代了使用了近二十年的二期课改教材(后文简称沪教版).就函数的学习来说,最大的区别就是增添了导数章节:导数及其应用.笔者作为使用沪教版教材的高考生以及第一批使用新教材的高中教师,对此很有感触.这一章节位于选择性必修一的第五章,通常安排在高二阶段进行教学.共3章,分别是导数的概念及其意义,导数的运算以及导数的应用. 极限 在引出导数的定义的时候使用了由区间速度到瞬时速度这一例子,借此引出了导数定义: 定义1 在已知函数的前提下,对于自变量某个给定值,给一个变化量,分析当趋于时, 是否趋近于某个稳定值.如果这个稳定值存在,就说明上式在趋近于时有极限,并把这个稳定值称为函数在处的导数(derivative),记作 我们可以从中得出“导数是极限”,于是这里面引出第一个问题:何为极限?由于上教版教材中不再单独讲授极限的内容,只是在讲授等比数列的时候一笔带过,而沪教版教材在高二第一学期数列一章借由无穷递减等比数列的收敛讲解中不加证明的推广了如下的极限运算法则: 例1 注1 这个例子的证明是初等的,只需要对上式分子分母同时除以,利用 以及极限的四则运算法则即可实现.例1给出的一元双有理函数的极限运算法则,也是后续计算各类待定型的重要参考依据.这个运算的另一重要之处在于传达阶的估计(the estimation of order)这一微积分中的重要思想,通俗来说就是观察“谁增长的快”,那么当变量趋于正无穷时,那么“增长的快”的量会主导变化趋势.我们来看一个例子.例2 (2023静安区二模选择题第16题)函数是. A.严格增函数 B.在上是严格增函数,在上严格减函数 C.严格减函数 D.在上是严格减函数,在上严格增函数 解 作为选择题,观察选项,我们只需要估计该函数,其中的单调趋势即可,注意到当时,函数而,故这时候是递减的,通俗来说就是被“拖下去了”.同理,当时,注意到会比“更快地”趋于正无穷,故此时是递增的,选(D)即可. 注2 各类参考解答中均使用了原始方法计算了其单调性,这里不是说原始方法不好,而是作为一个选择题,从考试的角度来说我们可以更快得到答案. 笔者始终认为极限教学是重要的,这也是微积分的核心内容之一,学生需要对这一动态过程有初步的认知. 微分学的核心思想 导数的几何意义是导数教学中的一个重点,即该点处切线的斜率.上教版的教材是这样描述导数的几何意义与切线方程的: 在曲线上点附近取一点,割线的斜率 就是函数在以和为端点的区间上的平均变化率.如果当点沿曲线趋近于点时,割线的斜率趋近于某一稳定值,那么这个稳定值就是也就是函数在处的瞬时变化率.因此,函数在处的导数处的导数就是曲线在点处切线的斜率.因此,函数在点处的切线方程为这里的几何意义有助于学生更直观理解导数的定义,我们可以设计如下板书:
如此一来体现了微分学“化曲为直”的重要思想,有利于学生理解这一动态过程. 高考命题 上海地区的高考命题向来有自己的鲜明特色,我们以2023年上海高考为例. 例3 (2023上海秋季高考数学第21题)已知,取点过其曲线作切线交轴于点,取点过其曲线作切线交轴于点,若则继续,若则停止,以此类推得到数列. (1)证明: . (2)试比较与的大小关系. (3)若正整数,是否存在使得依次成等差数列?若存在,请求出的所有取值;若不存在,请说明理由. 题目本身并不算难,其想法来源于上教版选择性必修一的第4章第5节介绍了迭代序列计算的值以及巴比伦(Babylon)算法,这一近似算法很好地结合了数列和导数的内容,架起了沟通的桥梁.从高等数学的角度来看,它与牛顿(Newton)切线以及蛛网(Cobweb)工作法联系密切,这一内容在数值代数以及计算数学当中运用广泛. 注3 实际教学过程中,一方面课时有限,一方面自身对这块内容也不够熟悉,故有所忽略,这一点所带来的启示是不能由于自身在高等数学阶段所接触内容的局限性而导致在指导复习时的视角代入. |
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