【原】比内—柯西恒等式

对于矩阵

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可以直接根据矩阵乘法和与行列式两者的定义计算出

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行列式|AB|也可以根据柯西—比内公式(柯西–比内公式)展开

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从而有

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上式称为比内—柯西恒等式。

若令

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当n=3时，不难看出上述比内—柯西恒等式可以写成

叉积(×)(四元数与向量分析(二))只对三维向量有意义，而外积(∧)(从向量积到格拉斯曼的外积)可以看作是叉积向一般维度的推广。对于n取一般整数值时，上式更一般的情形是

若令

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便可以得到​比内—柯西恒等式的一种比较常见的特殊情形

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上式也称为拉格朗日恒等式。显然拉格朗日恒等式等号右边的项大于0，从而有

这就是著名的柯西不等式。只有当向量a和b共线时，a∧b=0,从而柯西恒等式等号右边的项为零，这就是柯西不等式中等号成立的条件。将柯西不等式中的向量用坐标表示就可以得到柯西不等式较常见的形式​

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​柯西不等式在数学和物理的很多领域都有非常重要的应用(柯西不等式与不确定关系)，包括均值不等式在内的很多常见不等式都可以根据柯西不等式证明。

根据向量内积和外积的定义，当a和b是单位向量时，柯西不等式就变成

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其中θ为两向量的夹角。上式其实就是勾股定理。