这道“巴蜀中学”高二的数学压轴题是一类常考模型。椭圆尚未学到,所以重心放在了圆上,其套路与椭圆毫无二致。不少人都有一个误区,总认为圆比椭圆简单,这是无稽之谈。 第一问,求轨迹方程,相关点法和几何法一决高下。相关点法体现了代数转换的精妙,而几何法刻画了轨迹形成的本质。 很遗憾,这个轨迹与第二问丝毫无关,这无疑削弱了题目的紧凑性。我喜欢那种逐层递进的关系,抽丝剥茧、丝丝入扣。 第二问,求三角形面积的最值。这一问大致可分为两步: 首先,对称预示着角平分线,而角平分线隐含着直线过定点。有了这个定点,三角形的面积便可轻松表达。而一旦突破了这个关键,剩下的便不值一提。 其次,求三角形面积的最值,换元后既可转化为二次函数求解,也可借助均值不等式实现。这俨然已经脱离了解析几何,而是地地道道的函数问题。 法1,硬求T点坐标,这架势肯定会劝退不少英雄好汉。考验勇气和基本功的时候到了,不要怂,有多少本事都拿出来,背水一战。 如果你稍加留心,会发现T点的横坐标是一个对称结构,捅破这层窗户纸,也就失去了神秘,剩下的只需一番操作猛如虎。 三角形的面积,计算弦长和点到直线的距离是基本操作,不过水平宽与铅直高更好。 法2,点A、C关于x轴对称,则角平分线呼之欲出,于是直线BT、CT的斜率互为相反数顺理成章。角平分线是解析几何无法回避的对象,角平分线转化为斜率,斜率转化为坐标,而坐标几何就是解析几何。 那么本题中的直线AB一定过定点吗? 当然,法3中的极点极线给出了答案。同理,根据配极原则,点T关于圆O的极线也必过点D。既然是极点极线,本题还有什么值得留恋? 没什么值得留恋,除了留恋本身。 显然,A、B、T三点共线,B、D、C三点也共线,且A、B、C三点都在圆O上,所以定比点差法怎么能错过。 定比点差法省去了联立方程的尴尬,在计算上不失为投机的手法。大致了解即可,我放在这里仅是提供一种思路。 关于本题,我想没有更多要啰嗦的了。下面这道题拿去,看看是否有惊喜。 |
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