可分离变量的方程介绍我们从研究解法中开始，这是所有微分方程中最简单的一类：具有可分离变量的一阶方程。由于本节讨论的方法以及解微分方程的许多其他方法涉及积分，建议通过查阅微积分教材，温习对重要公式（如）和技巧（如分部积分）的记忆。 通过积分解方程 考虑一阶微分方程。当不依赖于变量时，即，微分方程 可以通过积分来解如果是一个连续函数，那么对（1）的两边进行积分得到，其中是的不定积分。例如，如果，那么它的解是或。 定义 方程（1）及其解法只是一种特殊情况，即正常形式中的函数可以分解为的函数和的函数相乘的情况。 定义 可分离变量的方程形如 的一阶微分方程被称为可分离方程或具有可分离变量。 例如，方程 分别是可分离和不可分离。 方程式中，第一个方程可以将分解为： 但是在第二个方程中，无法将表示为的函数和的函数的乘积。注意，通过除以函数，我们可以将可分离方程写成 为了方便，我们将表示为。从这最后一种形式，我们可以立即看出当时， 减少到。 现在，如果代表的解，我们必须有，因此 但是，所以 与 是一样的，其中和分别是和的不定积分。 解法方法 指示了解可分离方程的步骤。通常以隐式方式给出一族含参数的解，通过对的两边积分获得。 注意: 在积分可分离方程时，不需要使用两个常数，因为如果我们写成，那么差值可以被单一常数代替，就像在中一样。在随后的章节中，我们将根据方程的需要重新标记常数。例如，常数的倍数或常数的组合有时可以替换为单一常数。 示例1解可分离微分方程解决。 解 再除以，我们可以写成，由此可以得出 将重命名为，则得到。 在示例1的解中，因为每个积分的结果都是一个对数，所以对积分常数的明智选择是，而不是。将解的第二行重写为，使我们能够通过对数的性质合并右边的项。从，我们立即得到。即使不是所有的不定积分都是对数，使用 仍然可能有利。然而，没有明确的规则可遵循。 在第1.1节中，我们看到解曲线可能只是一个隐式解图形的一段或一段弧。 示例2 解曲线解决初值问题。 解 将方程重写为，我们得到 通过用常数 替换常数，我们可以将积分的结果写成。这个微分方程的解表示以原点为中心的一族同心圆，其中有一个参数。  现在当 时，。因此，初值问题确定了半径为5的圆。由于其简单性，我们可以解出满足初始条件的显式解。即 。解曲线是可微函数的图形。在这种情况下，解曲线是包含点的下半圆，如图中的深蓝色曲线. 丢失一个解在分离变量时应该小心，因为变量的除数在某一点可能为零。具体而言，如果 是函数 的零点，则将 代入 会使两边都变为零；换句话说， 是微分方程的一个常数解。 但是在变量分离之后， 的左侧在 处是未定义的。 因此， 可能不会出现在在积分和简化后得到的解族中。请记住，这样的解被称为奇解。 示例 3 失去一个解的情况解 我们将方程写成如下形式： 中的第二个方程是将第一个方程左侧使用部分分数分解的结果。积分并使用对数法则得到 在这里，我们将 替换为 。最后，将 替换为 并解出最后一个方程得到了参数化的解族： 现在，如果我们将微分方程右侧因式分解为 ，根据第2.1节关于临界点的讨论，我们知道 和 是两个恒定的（平衡）解。解 是由式定义的解族中的一员，对应于 。然而， 是一个奇异解；无论参数 的选择如何，都无法从中得到它。这个后者的解在解过程中早已丧失。通过检查可以清楚地看出，在这些步骤中我们必须排除 。 示例 4 初值问题解 将方程除以 得到 在积分之前，我们在左侧使用分项除法，右侧使用三角恒等式 。然后进行分部积分得到当 时，初始条件 意味着 。因此，初值问题的一个解是 如果一个初始条件通过在一阶微分方程的解族中得到参数 的特定值从而导致特定解，那么大多数学生（以及教师）自然会放松并感到满意。然而，一个初值问题的解可能并不唯一。我们看到初值问题 至少有两个解， 和 。现在我们可以解方程了。分离变量并积分 得到 。解出 并将 替换为 得到 只要我们取 , 给出的解族中的每个函数都是在区间 上定义的微分方程的解。现在当我们在解族中代入 时，我们看到 。因此， 是初值问题的一个解。通过除以 ，平凡解 已经丧失了。实际上，给定的初值问题有更多的解，因为对于任意选择的参数 ，分段定义的函数 既满足微分方程，又满足初始条件。参见图. 积分定义的函数在1.1节末尾的注中指出，对于某种类型的微分方程，解法可能会导致积分定义的函数。这对于可分离微分方程尤其如此，因为积分是解的方法。例如，如果 在包含 和 的某个区间 上连续，那么在 上定义的简单初值问题 的解为 当 不是初等函数时，即不能用初等函数的形式表达时， 可能是我们获得初值问题的显式解的最好方法。下面的示例说明了这个想法。 示例5 初值问题解 。 函数 在 上是连续的，但其不定积分不是初等函数。使用 作为积分的哑变量（虚拟变量），我们可以写成 使用初值条件 ，我们得到解 在示例5中展示的方法同样适用于可分离方程 ，其中，例如， 具有初等不定积分，但 没有初等不定积分。 备注在前面的一些示例中，我们看到了一阶微分方程一参数解族中的常数可以在方便的时候重新标记。此外，很容易发生两个人解同一个方程时得到不同的答案表达式。例如，通过变量分离，我们可以证明一阶微分方程 的一参数解族为 在接下来的几节中，要记住解族可能在某种意义上等价，即一个解族可以通过重新标记常数或应用代数和三角学从另一个解族中获得。 |
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