第八章
微分方程初步 内容提示与分析 §8.1
微分方程的一般概念 1. 微分方程:含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程。 常微分方程:微分方程中的未知函数是一元函数的,叫常微分方程,其一般形式为 。 偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程。 2. 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶。 3.微分方程的解:如果把某个函数以及它的各阶导数代人微分方程,能使方程成为恒等式,这个函数称为微分方程的解。 微分方程的解有通解与特解两种形式。 4. n 阶微分方程的通解:含有n个独立的任意常数的解,叫 n 阶微分方程的通解。 5.微分方程的特解:不含有任意常数的解,叫微分方程的特解。 §8.2
一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式是 一、可分离变量的一阶微分方程 如果一阶微分方程能表达成 则称此方程为可分离变量的一阶微分方程。 设 ,则将变量分离后得
然后两边积分
即可得微分方程通解。 二、齐次方程 齐次微分方程的标准形式为 令 两边求导,有 代入原方程得 这是一个可分离变量的方程,求解后用 代回,即可得原方程的通解。 三、一阶线性微分方程 未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程 (1) 称为一阶线性微分方程。若 ,得 (2) 称为一阶线性齐次方程,此时可将方程(2)分离变量,得
得(2)的通解为 (3) 其中 为任意常数。若 , 则方程(1)称为一阶线性非齐次方程,下面我们来求方程(1)的通解。 用常数变易法,将与(1)对应的齐次方程(2)的通解(3)中的任意常数C,换成待定的函数u(x),即设 (4) 是(1 )的解。由于 (5) 将(4)和(5)代入(1)得
积分得 代入(4)得
这就是(1)的通解。 所以,一阶线性非齐方程式 的通解是。 §8.3
可降阶的高阶微分方程 一、 型 微分方程 的右端仅含有自变量是x,将两端积分一次,就得到一个 n-1阶微分方程
再积分一次,得
依次进行n次积分,便得含有n个任意常数的通解。 二、 型 方程右端不显含未知函数y,(可能含有y') ,从而原方程化为以 为未知函数的一阶方程:
如果能求出上述方程的通解 再由方程
可求得原方程的通解:
3. 型. 方程右端不显含自变量 。由于
方程就化为 如能求出通解 ,即
利用分离变量法,可以进一步求得原方程的通解为
§8.4
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线性齐次方程 二阶常系数线性齐次方程,其标准形式是 ,其中a,b,c是常数,a≠0。 定理1 如果函数 的两个特解,则
也是方程 的解,其中 为常数。 求解微分方程 可以通过求解其相应的特征方程 的根而得。 若 ① 为相异实根, 方程通解为: ② 为重根, 方程通解为: ③ 时,特征方程有一对共轭的复根
方程通解为: 二、二阶常系数线性非齐次方程 二阶常系数线性非齐次方程,其标准形式是 , 其中a,b,c是常数,式中的f(x)称为右端项。 定理2 设 是线性非齐次方程的一个特解,而 是相应的线性齐次方程的通解,则其和 为线性非齐次方程的通解。 定理3 设y1是非齐次方程 的一个特解, y2是非齐次方程
是非齐次方程 的—个特解。 这就是线性非齐次微分方程解的迭加原理。 对于右端项具有特殊形式的线性非齐次方程,其通解可以根据右端项的形式与相对应的线性齐次方程,通过待定系数法求得。 下表为特殊的右端项 的特解形式:
表中 是已知n次多项式,而 是待定的 n次多项式。 |
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