王高雄常微分方程笔记和课后习题

本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研参考书目为王高雄《常微分方程》（第3版）的考生。也可供各大院校学习王高雄《常微分方程》（第3版）的师生参考。

王高雄编写的《常微分方程》（第3版）是我国高校数学类广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。

为了帮助参加研究生入学考试指定参考书目为王高雄编写的《常微分方程》（第3版）的考生复习专业课，我们根据该教材的教学大纲和名校考研真题的命题规律精心编写了王高雄《常微分方程》（第3版）辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：

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本书是王高雄编写的《常微分方程》（第3版）的配套e书，主要包括以下内容：

（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。

（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对王高雄编写的《常微分方程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。

（3）精编考研真题，培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年来的相关考研真题，这些高校均以该教材作为考研参考书目。所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点，考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度，并检验自己的复习效果。

（4）免费更新内容，获取最新信息。本书定期会进行修订完善，补充最新的考研真题和答案。对于最新补充的考研真题和答案，均可以免费升级获得。

目录

第1章 绪 论

 1.1 复习笔记

 1.2 课后习题详解

 1.3 名校考研真题详解

第2章 一阶微分方程的初等解法

 2.1 复习笔记

 2.2 课后习题详解

 2.3 名校考研真题详解

第3章 一阶微分方程的解的存在定理

 3.1 复习笔记

 3.2 课后习题详解

 3.3 名校考研真题详解

第4章 高阶微分方程

 4.1 复习笔记

 4.2 课后习题详解

 4.3 名校考研真题详解

第5章 线性微分方程组

 5.1 复习笔记

 5.2 课后习题详解

 5.3 名校考研真题详解

第6章 非线性微分方程

 6.1 复习笔记

 6.2 课后习题详解

 6.3 名校考研真题详解

第7章 一阶线性偏微分方程

 7.1 复习笔记

 7.2 课后习题详解

 7.3 名校考研真题详解

试读（部分内容）

第1章 绪 论

1.1 复习笔记

一、常微分方程模型

1．微分方程模型的特点

（1）微分方程模型反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关，是一个动态（力）系统.

（2）完全无关的、本质上不同的模型有时可以由同类型的微分方程来描述.

2．构造常微分方程模型的方法

（1）从物理、力学等已确定的自然规律出发，提炼出状态变量，包括自变量和因变量（未知函数），考虑其主要因素，忽略次要因素，提炼出状态变量，包括自变量和因变量（未知函数），然后应用相应的规律和实际情况，构造出自变量、未知函数及其导数的关系式，即相应的微分方程；

（2）如果没有直接的已知规律可参考，可以利用不同现象可以具有相同的数学模型这一事实，应用类比方法，建立相应的模型；

（3）还可以根据已发现的数据，通过分析数据的相互关系加上合理的逻辑推理，寻找出相关规律建立相应的模型；

（4）最后，还可以根据一定的目的，通过反复试验，寻找出适合要求的模型．

二、基本概念和常微分方程的发展历史

1．常微分方程的基本概念

（1）常微分方程、偏微分方程及微分方程的阶

①微分方程：联系着自变量、未知函数及其导数的关系式称为微分方程；

②常微分方程：自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程；

③偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程；

④微分方程的阶数：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.

n阶常微分方程具有形式

          （1.1）

其中，的已知函数，而且一定含有，y是未知函数，x是自变量.

（2）线性微分方程和非线性微分方程

如果（1.1）式的左端为y及的一次有理整式，则称（1.1）式为n阶线性微分方程；不是线性微分方程的微分方程称为非线性微分方程.

n阶线性微分方程具有形式

其中，a₁（x），…，a_n（x），f（x）是x的已知函数.

（3）微分方程的解和隐式解

①微分方程的解

如果函数y=φ（x）代入方程（1.1）后，能使它变为恒等式，则称函数y=φ（x）为方程（1.1）的解．

②微分方程的隐式解

如果由Φ（x，y）=0决定的函数y=φ（x）是方程（1.1）的解，就称Φ（x，y）=0为方程（1.1）的隐式解，隐式解也称为“积分”．解和隐式解统称为方程的解．

（4）微分方程的通解和特解

①微分方程的通解

含有n个独立的任意常数c₁，c₂，…，c_n的解

y=φ（x，c₁，c₂，…，c_n）

称为n阶方程（1.1）的通解．

关于解对常数的独立性是指，对φ及其n－1阶偏导数关于n个常数c₁，c₂，…，c_n的雅可比行列式不为0．

同样可以定义方程（1.1）的隐式通解（通积分），称通解和隐式通解为方程的通解．

②微分方程的特解

a．微分方程的初值条件

n阶微分方程（1.1）的初值条件是指：

当x=x₀时，y=y₀，，，        （1.2）

其中x₀， y₀，y₀^（1），．．．，y₀^（n-1）是给定的n+1个常数．初值条件（1.2）有时写为

b．微分方程的特解

求微分方程满足初值条件的解，就是所谓的初值问题．满足初值条件的解称为微分方程的特解．初值条件不同，对应的特解也不同．