【原】常微分方程的正则解

我们已经讨论过常微分方程在常点的邻域的幂级数解，在这种情况下，解函数是一个泰勒级数。有时候还需要在常微分方程的奇点的邻域求解，在这种情况下，如果还是考虑幂级数解的话，所得到的解函数就不再是泰勒级数，而是洛朗级数。

考察二阶线性齐次常微分方程：

如果 z₀ 是方程的极点，则在两个系数都解析的环形区域 0<|z-z₀|<R 内，方程有两个线性无关解：

奇点邻域内的解有可能是多值函数，方程的奇点有可能是解的奇点，还有可能是枝点。

一般情况下，两个级数都有无穷多个正、负幂项，系数之间的递推关系将非常复杂。但是，如果解式只包含有限个负幂项，那么，总可以调整式子的结构，使级数部分没有负幂项：

其中 c₀≠0，d₀ 或 g 不等于0。这种形式的解叫做正则解，具有这种性质的奇点叫做正则奇点，级数前的幂次被称为正则解的指标。

可以证明，如果微分方程的两个系数的如下算式 (z-z₀)p(z) 和 (z-z₀)²q(z) 在奇点 z₀ 处解析，微分方程在环形区域 0<|z-z₀|<R 内就有两个正则解。对于无穷远点，则要通过变换 t=1/z 把微分方程的自变量从 z 变换成 t ，并讨论 tP(t) 和 t²Q(t) 在 t=0 点的性质，然后再做出判断。

根据常微分方程的普遍理论，只要有了微分方程的一个解，就可以通过积分求出另一个解。因此，无需用级数展开的方法求第二个解。由于两个解都满足微分方程，因此，必定可以列出如下两个方程：

用 w₂ 乘第一个方程，用 w₁ 乘第二个方程，把经过这样处理后的两个方程相减，就得到一个新的方程：

利用导数规则把两个二阶导数项稍作处理，就得到上述方程的一个变形：

注意到上述方程左边两个小括号内的算式是相同的，引入一个新的函数

上述二阶微分方程就变成了一个一阶微分方程，它的解是显而易见的：

把函数 u(z) 的表达式代入上面的解式中：

对这个等式再做一次积分，就得到微分方程的第二个解的表达式：

回到奇点的性质的讨论上来，看一个简单的例子。前面已经讨论过勒让德方程：

它有三个奇点：z=±1,∞。现在来看一看这三个奇点是不是正则奇点。先写下勒让德方程的两个系数：

对于 z=1 这个点，以下极限

存在，还有

也存在，因此，z=1 是正则奇点。对于 z=-1这个点，以下极限

存在，另一个极限

也存在，因此，z=-1 是正则奇点。对无穷远点，需要用到以 t 为自变量的两个系数：

与一般的点类似，以下极限

和以下极限

均存在，因此，z=∞ 是正则奇点。由此可见，勒让德方程的三个奇点都是正则奇点。

再看超几何方程：

用与讨论勒让德方程同样的方法可以得到它的三个奇点的性质。首先写下它的两个系数

对于 z=0，以下极限

和以下极限

均存在。对 z=1，以下极限

和以下极限

也存在。对无穷远点，以 t 为自变量的两个系数

在 t=0 点，以下极限

和以下极限

均存在。因此，超几何方程的三个奇点都是正则奇点。