高考圆锥曲线解题技巧及二级结论取其本质

      高考数学圆锥曲线部分，仅仅记住一些二级结论和解题技巧，在高考时很难用上，即使勉强用上了，也不知道对不对。应对这种情况最好的方式就是彻底弄明白这些结论，解题技巧是怎么来的，其本质是什么，使用的限制条件是什么。下面以圆锥曲线仿射变换为例，介绍一下如何取其精华。

仿射变换定义

      仿射变换是线性变换的一种，指把一条直线通过某种方式变换到另一条直线上，即在变换过程中，直线和平面之间保持不变的线性关系。这种变换在解析几何、线性代数等领域中有着广泛的应用。

仿射变换应用

      仿射变换在高中数学圆锥曲线部分中具有广泛的应用，通过这种变换可以将复杂的问题简化或者将不规则的图形转化为规则的图形，从而方便问题的解决。

      仿射变换是一种线性变换，它可以改变图形的大小、形状和方向。在高中数学圆锥曲线部分中，仿射变换可以用于将复杂的问题简化或者将不规则的图形转化为规则的图形，从而方便问题的解决。

      Ex：在圆锥曲线的标准方程中，可以通过仿射变换将椭圆方程转化为圆方程，从而借助圆中的特有性质解决问题。具体来说，如果将椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴重合，那么通过旋转和伸缩变换可以将椭圆方程转化为圆方程。

      Ex，仿射变换还可以用于圆锥曲线中的焦点和准线问题。例如，在椭圆中，通过仿射变换可以将焦点和准线转化为容易计算的位置，从而方便问题的解决。

仿射变换原理

实际上仿射变换本质上就是二次映射！与函数的映射变换关系一起理解。在二维平面上，压缩或拉伸变换可以通过一个矩阵操作来实现。假设我们有一个点P(x,y)，经过压缩或拉伸变换后，它的新坐标可以表示为(ax,by)，其中a和b是小于1或大于1的实数。

压缩或拉伸：这一变换会改变圆锥曲线的大小，但不会改变其形状。例如，通过拉伸短轴，点的坐标会发生变化，横坐标不变，纵坐标拉伸。类似地，压缩长轴会使得纵坐标不变，横坐标缩小。

旋转：该变换会改变圆锥曲线的方向，但不会改变其大小和形状。例如，如果点位于椭圆上，并且椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴重合，那么旋转椭圆就会使得x轴和y轴的方位发生变化。

平移：该变换会改变圆锥曲线的位置，但不会改变其大小、形状和方向。例如，将椭圆沿着x轴移动一段距离，点的坐标会发生变化，但点的相对位置和形状不会改变。

注意：这些仿射变换可以单独使用，也可以组合使用，以生成各种不同的圆锥曲线。

小试牛刀

已知椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），点P的坐标为（-a,b）

1）设直线l1：y=k1x+p交椭圆于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E，若k1* k2=-b^2/a^2,证明E为CD的中点

2）对于椭圆上的点Q（acosф，bsinф）（0<ф<π）,如果椭圆上存在不同的两个交点P1,P2满足PP1+PP2=PQ,写出求作点P1,P2的步骤

解析：

第一问：使用仿射变换，将椭圆方程转换为圆方程：x’^2+y’^2=a^2,则k’1*k’2=-1，根据题目给的已知条件和垂径定理则E为弦C’D’中点。【简单吧】

第二问：

1、以坐标原点O为圆心，椭圆的长轴a为半径作圆

2、过O做射线，使Ox轴正方向到该射线的角为ф，射线与圆交于Q’;

3、过圆与y轴正向的交点做y轴的垂线，过圆与x轴负向的交点做x轴的垂线，两条垂线交于点P’;

4、连接P’Q’,取其中点N’;

高考加油！