零空间和列空间

“君子成人之美，不成人之恶。”

君子应该为国家，社会，集体做有意义有价值的事情，干实事，干好事，干大事。心有多大，空间就有多大，而我们今天了解的是空间的理论基础。

本文讲解了空间，子空间，零空间，列空间，零空间的维度列空间的维度和列向量个数之间的关系。

空间

什么是空间？常规的空间就是我们看到的，实际上，空间的维度可以是大于3维。

一个向量空间是由一些被称为向量的对象构成的非空集合V，在这个集合的两个运算，称为加法和标量乘法，必须要满足一下的法则。

这是在无限集合中，运算满足封闭性。

子空间

向量V的一个子空间是V的一个满足以下三个性质的子集H:

1. V中的零向量在H中。
   

2. H对向量加法封闭，对H中任意的向量u,v,u+v在H中

3. G对标量乘法封闭，对H中的任意向量u和任意标量c,向量cu在H中。

   

零空间

我们知道什么是空间，线性方程的解集告诉我们零解是重要的。

这个时候零空间就是一条直线。

在零空间的向量的加减操作，和标量乘法操作得到的向量，依然在零空间之中。

列空间

顾名思义，就是列生成的空间。

因为A的列向量是由m维度构成的，所以最多是m维，不可能m+1维。

但是一个向量能多增加一个维度，如果线性相关还有可能不增加。

也就是最多是n维的。

我们想要了解的是多少个盒子放了球，也就是多少维度的空间能被表达。

零空间和列空间之间的关系

进一步推广，如果是m×n的矩阵