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长文警告 长文警告！本文费脑，预计阅读时间10min 大家好，我是科学羊🐏，今天是周末我们来聊一个非常有意思的话题 —— “空间维度”。没错，也就是我们生活中的维度。 其实我们所有人都知道，我们生活在一个三维的空间里。 但是你知道吗，按照我们现代科技的常理，物理世界的任何一样东西，其实都是要有“数学模型”的，那么请问，维度的数学模型是什么？ 答：维度的概念看起来似乎很简单，但数学家花了几个世纪才精确地定义和理解它。 接下来我们展开来讲讲。
一开始，维度的概念似乎是直观的。 拿出一张纸，我们在纸上点一个细细的圆点，那么这个点将会永远体验着零维空间。 一只蚂蚁🐜在地面上自由移动，它也是在享受这二维平面得自由。 而一只鹰🦅，扶摇直上，它在空中享受着三维空间。 正如我们将看到的，貌似好像这样定义维度好像很奇怪，找到一个明确的定义的维度的概念，并推动其边界已被证明是非常困难的数学家。 当然，这是经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，我们才得出目前对这个概念的严格理解。 古人知道我们生活在三维空间。 亚里士多德写道: “在大小上，向一个方向延伸的是一条线，向两个方向延伸的是一个平面，向三个方向延伸的是一个物体。除此之外，没有其他的量级，因为维度就是全部。” 然而，数学家和其他人不一样，他们必须想象更多维度的数学构想！比如，第四维度ーー某种程度上垂直于我们的三维ーー究竟会是什么样子？ 好，接下来是脑洞时刻（结合下面这张图理解）：
图片来自 Samuel Velasco/Quanta Magazine 假设我和你是一只蚂蚁，我们生活在一个二维的平面世界里，而在这个二维平面上方有一个三维的实体球正好往下落。 在球还没有接触到这个二维平面时，我们是看不到球的。 但是，当球落下并接触到这个平面时，在平面上会出现一个点。 随着球继续穿过这个平面，这个点会变成一个不断增大的圆盘，直至圆盘达到其最大大小（这时球的最大截面完全与二维平面接触）。 之后，随着球继续穿过平面，这个圆盘会逐渐缩小，直至最终消失.... 正是通过这些横截面，我们“看到了”三维的形状，也就是说，作为二维空间的我们，还是需要靠想象去推测三维的世界。 好在，我们就在三维，我们很容易理解这个三维世界我的一切！ 同理，在我们熟悉的三维宇宙中，如果一个四维球穿过它，它会以一个点的形式出现，长成一个实心球，最终达到它的全部半径，然后收缩和消失。 这给了我们一种四维形状的感觉....，想想看，你理解吗？ 也许，我能想到的是这样的一个场景，某天我下班独自走在路边，看到一个三维的物体从天空一闪而过，而后又突然变成一个圆环...消失不见... 这时候，我可能感觉这是个灵异事件，哈哈，不怕，会不会这是一个四维世界惯常的现象，只是我们无法理解且永远不能理解罢了！ 我们再来一个思想实验，让我们一起来理解下，四维空间的奥妙。
① 我们从一个点开始，我们可以向一个方向扫描它，得到一个线段。 ② 当我们沿垂直方向扫描线段时，我们得到一个正方形。 ③ 在第三个垂直方向上拖动这个正方形会产生一个立方体。 ④ 同样地，我们通过在第四个方向上扫描立方体来得到一个新的立方体。 注意，这个由立方体扫描的到的图像，要靠自己想象出来。你觉得生活中存在这样的东西吗？（如果有评论区留言讨论，继续往下看）
图片来自 Samuel Velasco/Quanta Magazine 通过将蓝色的形状扫过紫色的形状，我们可以看到不同维度的立方体，包括一个立方体。 所有这些加在一起就形成了一种直观的理解，即一个抽象空间是 n 维的，如果其中有 n 个自由度，或者如果它需要 n 个坐标来描述一个点的位置。 比如二维只需要一个笛卡尔坐标系，而三维需要一个三维空间坐标系。 然而，数学家们发现维度的表示其实比这些简单的描述所暗示的要复杂得多。 空间维度怎么计算 在19世纪的时候，人们就开始特别迷恋第四维度。 比如，1884年，埃德温 · 艾伯特创作了通俗讽刺小说《平面世界》 ，以二维人物遭遇三维人物为类比，帮助读者理解四维世界。 甚至，1909年的《科学美国人》论文竞赛，题目是“第四维是什么?” 共收到二百四十五份参赛作品，竞逐五百元奖金。 许多艺术家，比如毕加索和杜尚，将第四维的思想融入到他们的作品中。 也就是在这段时间里，数学家们也意识到维度缺乏一个正式的定义，这是一个很严重的问题。 起初，康托尔认为线段、正方形和立方体中的一组点必须具有不同的基数，就像一条由10个点组成的线、一个由10 × 10个点组成的网格和一个由10 × 10 × 10个点组成的立方体中的点的数目不同一样。
康托尔三分集的生成过程 然而，在1877年，他发现了线段中的点和正方形中的点(以及所有维度的立方体)之间的双射，表明它们具有相同的基数。 凭直觉，他证明了直线、正方形和立方体都有相同数量的无穷小点，尽管它们的维度不同。 1890年，朱塞佩 · 皮亚诺(Giuseppe Peano)发现，一维曲线可以如此紧密、连续地包裹起来，以至于它可以填满二维正方形中的每一个点。这是第一个皮亚诺曲线。
皮亚诺曲线 这些例子和其他令人惊讶的例子清楚地表明，数学家需要证明维数是一个真实的概念，例如，当 n ≠ m 时，n 维和 m 维欧几里德空间在某些基本方面是不同的。这个目标被称为“维数不变性”问题。 说来说去，最后还是到了分形！
把一条线段2等分，你就得到两条线段。 把一个正方形的边2等分，你就得到4个正方形。 把一个立方体的边2等分，你就得到8个立方体。 其中的4和8，分别是2的2次方和2的3次方。—— 这个“2次”和“3次”，就是正方形和立方体的“维度”。 现在咱们把这个概念推广一下。以此类推，如果你把一个东西的边，分成 r 等分，你就得到了 N 个小东西，然后
那么这个 D，就是维度。正方形，D=2，说明是2维的；立方体，D=3，是3维的。那反过来，取个对数，我们也可以说
这就是计算任何图形的维度的公式。那咱们来算算前面那个科赫曲线的维度是多少。注意，这不是一条平常的曲线，这是一条想象中的、细节无限可分的曲线。
按照最基本长度的1/3为一段分段，横向分3段的话，这条曲线的长度是4段，相当于上图中第二条曲线。 按照1/9的长度分段9段，曲线的长度是16段，以此类推。也就是说，r=3, 则 N=4；r=9，则 N =16，……注意 r 和 N 的变化是这么一直以乘方的形式变，而取对数再做除法，所有的乘方就都被消除了，所以维度永远都是
就是分形特殊的数学性质！ 一般的线都是1维的。科赫曲线明明是一条线，但因为它是一条特殊的、中间有无限细节的线，它居然不是1维，而是1.26维！ 这个结果就是说，分形，可以增加维度 —— 出现了分数维，所以才叫“分”形。 好，那我们再看一个更特殊的情况。 把科赫曲线中那个三角形的夹角无限地缩小，以至于变成中间突出的一条线段，这么一直分形下去是什么结果呢？是下面第四个图的样子 ——
这条特殊的科赫曲线布满了它所在区域范围内的整个平面！相应的维度 = 2。也就是说，它已经不再是“线”了，它已经变成了一个“面”！ 具体解释下：如果我们考虑一个线段，每次迭代都在其上增加无数个小的“波动”或“凹凸”，并且这些“凹凸”的大小和角度持续减小，这条线将会变得越来越不规则和复杂。 在极限情况下，即每个点都成为一个“断点”时，这条线将充满整个二维空间，从而分维数会趋近于2。 换句话说，如果你让科赫曲线中的三角形夹角无限地缩小，那么科赫曲线会变得越来越复杂，并且在极限情况下，其维数会趋近于2，因为它会尽可能地填满二维空间。 这种情况下，科赫曲线的分形维度将会是2。 当你把一条线铺满整个平面的时候，它就多出来了整整一个维度。这是今天分形告诉我们的最重要消息。 当分形维度达到2时，这个分形结构将在某种意义上变得类似于一个平面，尽管它仍然是由一条线构成的。 分形维度为2意味着该结构已经变得如此复杂，以至于它在几何上表现得更接近于二维平面而非一维线段。 当我们说一个形状是二维时，通常意味着它可以完全充满一个平面。在这种情况下，虽然科赫曲线仍然是由线段构成的，但由于其无穷的复杂性和细节，它可以在几何上充满二维空间，因此我们说它的分维数为2。 总之，维度的定义最后被数学家拿到分形世界去解释了，也许作为一种工具，帮助我们理解和探索高维空间和复杂结构，从而深化我们对宇宙中复杂现象的理解。 但我总觉得，茫茫宇宙，维度真的是这么定义的吗？也许还会有其他答案，只是我们不知道... 好，今天就先这样啦，祝大家周末愉快~ Masir 2023/11/04 祝幸福~ END PS：11月以至，我们将正式开启打开走数学科普的大门！今天我们先来看看数学世界的思想和脑洞，11月中旬我会为大家带来《第一季数学科普》的学习，敬请期待！  参考文献 [1].A Mathematician’s Guided Tour Through High Dimensions | Quanta Magazine [2].https://mp.weixin.qq.com/s/8hoqJYmFq6RzKpai4_q6Hw [3].https://www./course/article?id=rykaNlMY5gn3JqGz0K7EAROW0DLjev&source=search《精英日课*2》规模+图片来源于万维钢精英日课*5 |
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