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作者：David S. Richeson 2021-9-13 译者：zzllrr小乐 2021-9-19 维度的概念乍一看似乎很直观。向窗外瞥一眼，我们可能会看到一只乌鸦正在狭窄的旗杆上体验零个维度，一根电话线上的知更鸟被限制为一个维度，一只在地面上自由移动的鸽子处在两个维度，而一只在空中的老鹰享受三个维度。 但正如我们将要看到的，对于数学家来说，为维数的概念找到一个明确的定义并突破它的界限已被证明是异常困难的。我们经过数百年的思想实验和富有想象力的比较，才得出我们目前对这个概念的严格理解。 古人知道我们生活在三个维度中。亚里士多德写道：“向一个方向（延伸大小）是一条线，向两个方向（延伸大小）是一个平面，以及（向三个方向延伸大小）一个立体。别无其他，因为所有存在的维度就是这些了。” 然而，数学家在众人之中，享受着想象更多维度的心智锻炼。第四维度——某种方式垂直于我们的三个维度——会是什么样子？ 一种流行的方法：假设我们的可知宇宙是三维空间中的二维平面。一个在飞机上方盘旋的立体球对我们来说是看不见的。但是如果它坠落并接触到飞机，就会出现一个点。当它继续穿过平面时，圆盘会不断增长，直到达到其最大尺寸。然后它缩小并消失。正是通过这些横截面，我们才能看到三维形状。
平面上的居民只能看到三维物体的横截面。 同样，在我们熟悉的三维宇宙中，如果一个四维球穿过它，它会以一个点的形式出现，成长为一个立体球，最终达到它的全半径，然后收缩并消失。这给了我们一个四维形状的感觉，但是对于这样的图形还有其他的思考方式。 例如，让我们尝试通过构建来可视化立方体的四维等价物，称为超立方体（tesseract）。如果我们从一个点开始，我们可以在一个方向上扫描它以获得一条线段。当我们沿垂直方向扫描线段时，我们得到一个正方形。在第三个垂直方向拖动这个正方形会产生一个立方体。同样，我们通过在第四个方向上扫描立方体来获得超立方体。
通过将蓝色形状扫过紫色形状，我们可以可视化各种尺寸的立方体，包括超立方体。 或者，就像我们可以将立方体的面展开成六个正方形一样，我们可以展开超立方体的三维边界以获得八个立方体，正如萨尔瓦多·达利 (Salvador Dalí) 在 1954 年的画作《受难》(Corpus Hypercubus) 中所展示的那样。
我们可以通过展开它的面来想象一个立方体。同样，我们可以通过展开其边界立方体来开始设想超立方体。 所有这些合起来得到一个直观的理解，如果一个抽象空间中有 n 个自由度（就像那些鸟一样），或者如果它需要 n 个坐标来描述一个点的位置，那么它就是 n 维的。然而，正如我们将要看到的，数学家发现维度比这些简单的描述所暗示的要复杂。 对更高维度的正式研究出现在 19 世纪，并在几十年内变得相当复杂：1911 年的参考书目包含 1,832 条对 n 维几何的引用。也许正因如此，在 19 世纪末和 20 世纪初，公众开始迷恋第四维度。1884 年，埃德温·阿博特 (Edwin Abbott) 创作了流行的讽刺小说《平地》，该小说以二维生物遇到三维角色作为类比，帮助读者理解第四维度。1909 年《科学美国人》征文比赛题为“第四维是什么？”收到 245 份参赛作品，争夺 500 美元的奖金。许多艺术家，如巴勃罗·毕加索和马塞尔·杜尚，将第四维的想法融入到他们的作品中。 但在这段时间里，数学家们意识到维度缺乏正式定义实际上是一个问题。 乔治·康托尔 (Georg Cantor) 因发现无穷大有不同的大小或基数而闻名。起初，康托尔认为线段、正方形和立方体中的点集必须具有不同的基数，就像一条 10 个点的线、一个 10 × 10 的网格和一个 10 × 10 × 10 的立方体有不同数量的点。然而，在 1877 年，他发现线段中的点与正方形（以及所有维度的立方体）中的点之间存在一一对应关系，表明它们具有相同的基数。凭直觉，他证明了线、正方形和立方体都具有相同数量的无穷小点，尽管它们的尺寸不同。康托尔写信给理查德·戴德金，“我看到了，但我不相信。” 康托意识到这一发现威胁到 n 维空间需要 n 个坐标的直觉观念，因为 n 维立方体中的每个点都可以由一个区间中的一个数字唯一标识，因此，从某种意义上说，这些高维立方体是相当于一维线段。然而，正如戴德金指出的那样，康托尔的函数是高度不连续的——它本质上是将一条线段分成无限多个部分，然后将它们重新组合成一个立方体。这不是我们希望的坐标系的行为；它太无序而无益，就像为曼哈顿的建筑物提供唯一地址却随机分配它们。 然后，在 1890 年，朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano) 发现可以将一维曲线包裹得如此紧密且连续，以至于它可以填充二维正方形中的每个点。这是第一条空间填充曲线。但皮亚诺的例子也不是坐标系的良好基础，因为曲线与自身无限多次相交；回到曼哈顿的比喻，这就像给一些建筑物多个地址。
这些是产生空间填充曲线的过程的前五个步骤。在每一步，曲线的面积为零，但在极限情况下，它填充了正方形。这条特殊的曲线是由大卫·希尔伯特引入的。 这些和其他令人惊讶的例子清楚地表明，数学家需要证明维数是一个真实的概念，例如，当 n ≠ m 时，n 维和 m 维欧几里得空间在某些基本方面是不同的。这个目标被称为“维度不变性”问题。 终于，在 1912 年，在康托尔的发现之后将近半个世纪，并且在多次尝试证明维数不变性失败之后，布劳威尔（L.E.J. Brouwer）通过使用他自己创造的一些方法取得了成功。从本质上讲，他证明了不可能将一个更高维的物体放入较小的维数中，或者将较小的维数放入较大的维数中并填满整个空间，而不会将物体分成许多块，如康托尔所做，或者允许它自己相交，如皮亚诺所做。此外，大约在这个时候，布劳威尔等人给出了各种严格的定义，例如，可以根据球在 n 维空间中的边界是 n − 1维这一事实归纳地分配维数。 尽管布劳威尔的工作将维度概念置于强大的数学基础上，但它无助于我们对高维空间的直觉：我们对 3 维空间的熟悉太容易使我们误入歧途。正如托马斯·班乔夫 (Thomas Banchoff) 所写，“我们所有人都是自己维度偏见的奴隶。” 例如，假设我们将 2ⁿ 个半径为 1 的球体放置在边长为 4 的 n 维立方体中，然后将另一个球体放置在与它们所有的中心相切的位置。随着 n 的增加，中心球体的大小也随之增加——它的半径为 √n − 1。因此，令人震惊的是，当 n ≥ 10 时，这个球体超出立方体的边。
中心球体随着维度的增加而变大。最终它会突出到盒子外面。 高维空间令人惊讶的现实导致统计和数据分析出现问题，统称为“维数灾难”（curse of dimensionality）。许多统计技术所需的样本点数量随维度呈指数增长。此外，随着维度的增加，点聚集在一起的频率会降低。因此，找到降低高维数据维度的方法通常很重要。 维度的故事并没有以布劳威尔结束。仅仅几年之后，豪斯道夫（Felix Hausdorff） 提出了维度的定义——几代之后——证明它对现代数学至关重要。考虑 Hausdorff 维的一种直观方式是，如果我们将 d 维对象均匀缩放或放大 k 倍，则该对象的大小会增加 kᵈ 倍。假设我们将一个点、一条线段、一个正方形和一个立方体缩放 3 倍。点的大小不变（3⁰ = 1），线段变成三倍（3¹ = 3），正方形变成九倍 (3² = 9)，立方体变成 27 倍 (3³ = 27)。
当我们将 d 维对象缩放 k 倍时，尺寸会增加 kᵈ 倍。 Hausdorff 定义的一个令人惊讶的结果是对象可能具有非整数维度。几十年后，当芒德勃罗（Benoit B. Mandelbrot）问道：“不列颠的海岸线有多长？”
英国海岸线的测量长度取决于尺子的大小。 要了解非整数维度可能是什么样子，让我们考虑以迭代方式生成的科赫（Koch）曲线。我们从线段开始。在每个阶段，我们删除每一段中间的三分之一，并用与删除的
科赫曲线包含四个与整条曲线相同但大小为三分之一的部分，因此其豪斯多夫维数不是整数；它是 log₃(4) ≈ 1.26。 最后，有些读者可能会想，“时间不是第四维吗？” 事实上，正如发明者在 H.G. 威尔斯 1895 年的小说《时间机器》中所说，“时间与空间的三个维度中的任何一个都没有区别，只是我们的意识沿着它移动。” 1919 年，作为第四维的时间在公众的想象中爆发，日食让科学家们证实了阿尔伯特·爱因斯坦的广义相对论和赫尔曼·闵可夫斯基的平直四维时空的曲率。正如闵可夫斯基在 1908 年的一次演讲中所预言的那样，“此后空间本身和时间本身注定会消失在阴影中，只有两者的某种结合才能保持独立的现实。” 今天，数学家和其他人经常偏离我们舒适的三个维度。有时这项工作涉及额外的物理维度，例如弦理论所要求的那些维度，但更多时候我们抽象地工作并且没有设想实际空间。一些研究是几何的，例如 Maryna Viazovska 在 2016 年发现了在第 8 维和第 24 幸运的是，鸟类和数学家都不需要完全理解维度就可以享受。 |
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